Математическая статистика - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Только что полученный результат показывает, что асимптотически при Л —> оо критерий X имеет ту же самую функцию
мощности, что и критерий (32). Как мы уже видели, среди всех
критериев для проверки нулевой гипотезы, обладающих точным уровнем значимости уЗ, критерий (32) является равномерно наиболее мощным.
Легко можно вычислить функцию мощности критерия (32). Находим
Р'(ц) = Ф(Ъ'ц - С), (33)
где
Ъ'= Уд и с = У( 1—/5). (34,
Следовательно, асимптотически функция мощности критерия
X задается формулой (33). В § 64 В мы видели, что функция мощности критерия Стьюдента также задается асимптотической формулой (33). Таким образом, при постоянном д и при h —» оо критерий X имеет такую же мощность, как и критерий Стьюдента.
В данном случае я хотел лишь изложить основные идеи и наметить путь доказательства. Точный вывод можно найти в работе, цитированной выше (Math. Ann., 126, § 5, 103).
Я подозреваю, что этот же результат останется справедливым н тогда, когда оба параметра д и h стремятся к бесконечности.
3. РАСПРЕДЕЛЕНИЯ, ОТЛИЧНЫЕ ОТ НОРМАЛЬНОГО
Критерий Стьюдента предназначен для проверки нулевой гипотезы в предположении, что в обеих выборках случайные величины распределены нормально с одинаковыми дисперсиями. Большим преимуществом порядковых критериев является их полная независимость от предположения нормальности. При этом, независимо от выбора непрерывной функции распределения F(x), уровень значимости таких критериев всегда не превосходит /3. 23*
356
Гл. XII. Порядковые критерии
Что касается критерия Стьюдента, то его истинный уровень значимости может превышать /3, если только распределения х и у отличны от нормального.
Однако при соответствующих предположениях о функции F(x) и при больших g и А превышение заданного уровня значимости критерия Стьюдента оказывается не очень значительным. А именно, при достаточно большом g выборочное среднее х независимых случайных величин xlt. . . , xg распределено приближенно нормально, точно так же распределено и выборочное среднее у при достаточно большом Л, следовательно, разность D = х — у распределена приближенно нормально: При больших п = д + h знаменатель S стьюдентовского отношения можно приближенно заменить истинным квадратичным отклонением <rD разности D. Таким образом, отношение D/S распределено приближенно нормально с квадратичным отклонением, стремящимся к единице при д + А —» оо. Поэтому если все а; и у имеют одинаковые и не слишком дикие функции распределения F(t) и если д и А велнки, то истинный уровень значимости критерия Стьюдента будет приближенно равен заданному значению /3.
Однако при распределениях, отличных от нормального, критерий Стьюдента, в противоположность порядковым критериям, обладает другим недостатком, а именно незначительной мощностью. В § 6 моей уже упоминавшейся работы (Math. Ann., 126, 106) я рассматривал случай, когда функции распределения F и G случайных величин хну устроены таким образом, что при некотором однозначном преобразовании случайных величин
х' =Т(х), у' = т (у) (35)
оба распределения переходят в нормальные распределения с равными дисперсиями, но различными средними значениями. Мощность критерия X точно так же, как и мощность любого другого порядкового критерия, при таком преобразовании остается, конечно, неизменной. Что касается функции мощности критерия Стьюдента, то она вследствие преобразования (35) может значительно уменьшиться. В частности, такое уменьшение происходит тогда, когда благодаря преобразованию (35) квадратичные отклонения <гх и <ту увеличиваются сильнее, чем разность средних значений х — у.
В одной из следующих заметок (Proc. Коп. Akad. Amsterdam, А 56, 311) я рассмотрел другой случай, когда хи . . . , х4 распределены равномерно между нулем и единицей, a yv . . . , ув распределены равномерно между нулем и 1 + /л. При этом оказалось, что при jL —> оо функции мощности порядковых критериев стремятся к единице, а функция мощности критерия Стьюдента к единице не стремится.
§ 65. Критерий X
357
Мне и на практике приходилось иметь дело со случаями, в которых гипотеза о нормальном распределении хаус, равными дисперсиями заведомо не имела места и в которых критерий X нулевую гипотезу отвергал, в то время как критерий Стьюдента (с тем же уровнем значимости) не позволял сделать такой же вывод.
Пример 25. На одном промышленном предприятии измерялось время простоев, подверженное сильному рассеянию. Числовые значения я, к сожалению, забыл; поэтому мы воспользуемся теми данными, которые указаны в упоминавшихся ранее таблицах ван дер Вардена и Нивергельта:
^ = 11, хг = 34, х3 = 13, xt = 18.
После реорганизации производства время простоев сократилось и рассеяние уменьшилось, например:
2/i=8, yt =10, Уз = 7, 2/4=6.
В данном случае возможность применения критерия Стьюдента является весьма сомнительной, так как результаты наблюдений показывают, что распределения едва ли являются нормальными и что дисперсии не равны друг другу; кроме того, д и h не очень велики. Если тем не менее все-таки применить критерий Стьюдента (двусторонний критерий с уровнем значимости 0,05), то нулевая гипотеза не будет отвергнута: отношение t в данном случае принимает значение 2,1, а соответствующая граница (по табл. 7) равна 2,4.
