Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 11. ИНТЕГРАЛ ОТ КОМПЛЕКСНОЙ СКОРОСТИ
Рассмотрим криволинейный интеграл
I — ^vdz. (11.1)
1. Предполагаем, что движение потенциальное, т. е. существует w(z). Тогда у = и
/ = dz = dw — (йф + / of-ф) = Дф + /Дф. (11.2)
Здесь Дф, Дф — приращение функций ф и г|) при обходе контура.
Рассмотрим каждый из интегралов в отдельности. Вдоль контура I d(f = ^- dl, где — проекция скорости на элемент контура dl, и потому
йф = ^г'^' dl = <^) и( dl — ^ (vx dx vy dy) = Г. (11.3)
Таким образом, первый интеграл равен циркуляции скорости по контуру. Второй интеграл, как было установлено раньше, дает расход жидкости через контур
Д-ф = ф dty = Q. (П.4)
Итак, при обходе замкнутого контура будет Да; = Дф + IДф = = Г + /Q, т. е. интеграл от комплексной скорости равен
ф 6dz = r + <Q. (И.5)
2. Комплексная скорость u(z) есть функция комплексного переменного, которая может иметь особенности в точках внутри области, ограниченной контуром I. Пусть z\, z2, .. . , zk, ... — точки внутри области с контуром I, являющиеся особыми для функции v(z). Обозначим через уи вычеты в этих особых точках. По теореме о вычетах интеграл по замкнутому контуру равен
^dz = 2ni^^yk, (11.6)
где yk = ak + i$k.
Сопоставляя (11.5) и (11.6), получаем
Г = —2 лЦйРа, Q = 2n?ftaft. (11.7)
151
§ 12. ТЕОРЕМА ЖУКОВСКОГО
Рассмотрим обтекание некоторого профиля I безвихревым потоком идеальной несжимаемой жидкости. Этому обтеканию отвечает комплексный потенциал w(z).
Вычислим комплексную силу R по первой формуле Чаплыгина — Блазиуса:
За контур интегрирования возьмем окружность С с центром в начале координат, охватывающую контур I. Вне этой окружности и на ней комплексная скорость может быть разложена в ряд. Лорана:
Найдем коэффициенты этого ряда А0 и А\. Полагая z — оо, находим
Рассмотрим криволинейный интеграл от комплексной скорости. Так как v вне I ограничена и не имеет особенно-
стей во всей внешней относительно I части плоскости z, включая и точку 2 = оо, то для вычисления криволинейного интеграла достаточно найти вычет подынтегральной функции в бесконечно удаленной точке. По теореме о вычетах, используя ряд
(12.2), получаем
Согласно (11.5) имеем <^-^-dz = T -|- iQ.
Так как профиль предполагается непроницаемым и в потоке нет источников, то Q = 0. Отсюда
Подставляя полученные выражения для А0 и А\ в (12.2), имеем
(12.1)
(12.2)
Г — 2ш'Л], А[ — •
По теореме о вычетах
Для комплексной силы R получаем формулу
# = фУооГ,
(12.5)
155
где _
R — Fx — iFy, v00 = vxoo — ivyo::. (12.6)
Если воспользоваться (12.5) и перейти к комплексно-сопряженным величинам R и Уоо, то придем к формуле (теореме) Жуковского
R — — Ф^ооГ; (12.7)
здесь
R = Fx + iFy, voa = vXoo + ivyoo. (12.8)
Теорема Жуковского. Главный вектор сил давлений, действующих на профиль, численно равен произведению плотности и абсолютных величин скорости и циркуляции и имеет направление, получаемое путем поворота вектора скорости vx на угол
у в сторону, противоположную циркуляции.
Таким образом, для величины силы Жуковского имеем формулу
1Я| = РЮ-|Г|. (12.9)
Существенно, что главный вектор сил перпендикулярен направлению скорости на бесконечности. Силу, перпендикулярную скорости Voc, называют подъемной силой; силу в направлении потока — лобовым сопротивлением.
Из теоремы Жуковского следует, что при плоском потенциальном обтекании возникает только подъемная сила. Подъемная сила возможна только при наличии циркуляции. Для циркуляции мы имеем формулу (9.9). Подставляя выражение для Г в (12.9) (радиус круга обозначаем К), получаем
\R\ = AnkRp | |21 sin (0O — a) |.
Так как обычно ось х направляют вдоль скорости v,», то подъемную силу обозначают через Ry, силу сопротивления через Rx. В реальном обтекании возникает как подъемная сила, так л сила сопротивления. Принято вместо Ry и Rx исследовать так называемые коэффициенты сопротивления
С — С =¦
11 ---- t 9 X
Y P»LS J pais
Здесь 5 — площадь характерного сечения обтекаемого тела. Для идеальной жидкости Сх = 0 (Rx — 0 — парадокс Даламбера).
