Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
г = 2ш'*(тГ~ (9,8)
Учитывая (9.6) и полагая в (9.8) ?v = Reie°, получим Г = 2nikR | | (е‘ (а_е“) — е~1 (“-0»)),
Г = 4nkR | о» | sin (0О — а).
(9.9)
Угол (а — 0О), где 0О — угол, определяющий положение точки А' на окружности I' плоскости ?, называется углом атаки. Циркуляция Г обращается в нуль, когда а — 0О = 0.
В формуле (9.9) все величины известны, если только известно конформное отображение профиля на круг. Если величина Г известна, то формула (7.9) для комплексного потенциала будет давать единственное решение задачи обтекания произвольного контура с одной угловой точкой. А тогда можно поставить вопрос о вычислении сил, действующих на профиль со стороны потока.
Замечание. Если контур гладкий или имеет угол 6 > я или несколько угловых точек, то вопрос о циркуляции не может быть решен без привлечения дополнительных соображений.
§ 10. ФОРМУЛЫ ЧАПЛЫГИНА — БЛАЗИУСА
Получим общие выражения для главного вектора и главного момента сил давлений, действующих на профиль, обтекаемый безотрывным установившимся потоком идеальной несжимаемой жидкости. Мы будем говорить об обтекании контура /, имея в виду обтекание бесконечного цилиндра, и о силе, действующей на контур, имея в виду силу, действующую на элемент цилиндра единичной высоты.
151
(Ю.2)
Главный вектор сил, действующих на профиль:
F = — §pndl. (10.1)
Проекции на оси координат
Fx = — ф р cos (п, x)dl = — ф р dy,
Fy= — § р cos (л, у) dl — ^р dx.
Образуем величину
R = Fx-iFy\ (10.3)
# = — ф р dy — i § р dx = — i р {dx — id у) = — / ф p dz.
(10.4)
Вдоль контура / (контур-линия тока) справедлив интеграл Бернулли. Предполагая массовые силы отсутствующими, имеем
Х + 7 = С> р = рС-р4. (10.5)
Подставим (10.5) в (10.4):
R = — i ^ рС dz + i у ф и2 dz = г у и2 dz. (10.6)
Рассмотрим элемент контура dl. Пусть 0 — угол между каса-
тельной к контуру и осью х. Тогда
dz = dleiQ, dz — dle~m, dz = e~mdz (Ю.7)
и формулу (10.6) можно записать в виде
^ = i v2e~2m dz. (10.8)
При безотрывном обтекании скорость в точках контура I направлена по касательной к нему
(рис. 28):
ve~m = v cos 0 — iv sin 0 =
= t>x — ivy = v, (10.9)
на основании чего (10.8) приобре-
тает вид
R = i?-§&dz. (10.10)
Формула (10.10) есть первая формула Чаплыгина — Блазиуса.
Если движение безвихревое, то существует комплексный потенциал w(z) и формула Чаплыгина — Блазиуса для этого случая принимает вид
<|(Ш>
Получим выражение для главного момента сил давлений.
152
К элементу контура dl приложена сила, проекции которой dFx = — р dy, dFy = р dx.
Момент dL этой силы относительно начала координат будет
dl. = dFy х — dFх у = р (х dx + у dy), (10,12)
откуда момент сил, действующих на профиль, получим в виде
L = ф р (х dx + у dy). (10.13)
Используем интеграл Бернулли (10.5). Тогда
L = Ср ф {х dx + у dy) — -j v2 (х dx + У dy) =
= — j§v2(xdx +У dy)- (Ю.14)
i
Рассмотрим выражение zdz:
2 dz = (х + iy) (dx — i dy) = x dx + у dy + i (ydx — xdy). Отсюда
xdx + ydy — Re {zdz),
и, следовательно,
L — — -j ф v2 Re (zdz) — Re
Используя (10.7), перепишем (10.15-) в виде
L = Re (— j § v2e~2ibz dz} . (10.16)
Принимая во внимание (10.9), получаем вторую формулу Чаплыгина — Блазиуса
L = Re(-|-§&zdz). (10.17)
Если движение безвихревое, то
L=Re(-l $(4r)2zd2)- (10Л8)
В формулах (10.11) и (10.18) за контур интегрирования может быть взят любой контур, охватывающий контур I обтекаемого тела.
Замечание. Введенная сила R есть величина, сопряженная комплексной величине R — Fx + iFy, вещественная и мнимая части которой есть проекции главного вектора на оси координат. Эту величину R часто называют вектором силы, или просто силой, действующей на профиль, а величину R — F* —
— iFy — сопряженной комплексной силой.
153
(J v2z dzj.
(10.15)
