Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
b‘d\ b'd'2 OB' с ’
Отсюда
OD\ __ TfB'c[-c ^ c j(c + OC\)~c ^ c oc'-c
G'°' * 4tc + 0C‘) k 0C'l + c
Аналогично
ODf2 с с- OC'2
g?d' к c + OCj
(15.16)
(15.17)
(15.18)
При преобразовании инверсии вещественная ось переходит сама в себя, при этом точки пересечения С[ и С'2 окружностей А, и L2
с1
являются соответственными, т. е. 0С2 = . Таким образом,
__ с3
Ой'г с "осГ с 0С\ — с ODj
г —-------1 — 1 — 1 (15.19)
а'тРг k с + — k ОС\ + с Q\D[
ос'
'I
Отсюда следуют симметричность расположения лучей 0С[ и 0G' относительно мнимой оси и способ графического построения окружности L2,
Каждой точке ?/ = |?/|е(ф окружности L\ будет соответство-
ватъ точка | й~'ф окружности L2.
165
Если провести из начала координат под некоторым углом ср вектор ?' до пересечения с окружностью Lь а затем — под углом (—ф) вектор Z," до пересечения с окружностью L2 и прибавить второй вектор к первому, то получим некоторую точку Р
С2
профиля Жуковского (рис. 32, б) z' = ?' + ?,"= ?' + уг . По ряду точек мы легко сможем вычертить весь профиль.
В. Решение задачи об обтекании профилей Жуковского
Комплексный потенциал обтекания круглого цилиндра радиуса R в плоскости имеет вид
W&) = kva(15.20)
(Uoo = l Woo \eia).
Чтобы из (15.20) получить комплексный потенциал w(z') обтекания профиля Жуковского, мы должны: 1) выразить ?i через dz' I
z'\ 2) найти k=-Tz-\ ; 3) определить циркуляцию Г при по-
1 loo
мощи постулата Чаплыгина — Жуковского (профили Жуковского имеют одну острую кромку).
Согласно (15.12)
?i + g = \{z? + л/г'2 — 4с2), откуда с учетом (15.11)
?i = у (г' + л/2'2 ~ 4с2) — (ki — ее 2). (15.21)
Из формулы (15.12) следует, что =1.Для циркуля-
1 оо
ции Г, исходя из постулата Чаплыгина — Жуковского, была получена формула (9.9). В нашем случае аргумент 0О в плоскости ?i точки В', в которую переходит острая кромка профиля, равен (—у). С учетом выражения для R из (9.9) получим
Г = 4nR | | sin — а) =
= — 4л (Ус2 -f k2 + е) sin (а + -|-) | vx | (15.22)
166
Подставляя (15.21), (15.22) в (15.20), получим окончательный вид комплексного потенциала обтекания профиля Жуковского
w (г') = | | е~1а (2' + л/г'2 — 4с2) — {jti — ъе ‘ 2 )] +
+i0.k'“------------------(VFT?+f—-^+
¦у (z' 4- д/z'2 — 4с2) — \ki — ее ~ J
+ 2г (Vс2 + /г2 + е) sin (а + | | X
X In (/ -f л/г'2 — 4с2) — (ki — ее 2)]- (15.23)
Те профили, у которых угол между верхней и нижней касатель-
ными в задней острой кромке мал, не являются прочными (у профиля Жуковского соответствующий угол вообще равен нулю). Поэтому вместо них рассматривают так называемые обобщенные профили Жуковского *. Для их построения используют преобразование Кармана — Треффтца
= Г|-Г_?Л0. (15.24)
z-facvE + c/
Если а — 2я ~ а =2—то в результате преобразования
(15.24) окружность плоскости ? перейдет в профиль плоскости г, у которого угол между касательными в задней кромке равен б (см. рис. 27). Если а = 2, то получим преобразование Жуковского.
Наряду с преобразованиями (15.24) для построения оолее сложных профилей используются преобразования вида
(преобразования Мизеса).
§ 16. ОБТЕКАНИЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО ПРОФИЛЯ. МЕТОД НУЖИНА
В предыдущих параграфах было рассмотрено обтекание нескольких типов контуров (эллипс, пластинка, профили Жуковского), для которых конформное преобразование внешности профиля во внешность круга найдено точно. Для расчета обтекания профиля произвольной формы имеются различные методы, использующие идею приближенного конформного отображения внешности заданного профиля на внешность круга (методы Тео-дорсена, Симонова, Серебрпйского, Нужина). В настоящем
* Н. Е. Жуковский предложил способ геометрического построения подобных профилей. Он назвал их профилями типа «Антуанетт».
167
параграфе будет рассмотрен метод приближенного построения конформного отображения внешности заданного контура на внешность круга, предложенный С. Г. Нужиным в 1947 г. Для этого метода доказана сходимость процедуры последовательных приближений.
Пусть в плоскости г задан профиль / (рис. 33). Отметим точки А и В, наиболее удаленные друг от друга. Введем систему координат таким образом, что ось х будет направлена по хорде АВ, начало координат расположим в ее середине.
