Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы иметь возможность теоретически вычислить сопротивление, надо отказаться либо от предположения о потенциальности течения, либо от безотрывности обтекания, либо предполагать жидкость вязкой.
При безотрывном обтекании крыльев формула для Су, где Ry вычисляется по формуле Жуковского, хорошо подтверждается экспериментом.
J56
§ 13. ФОРМУЛА ДЛЯ МОМЕНТА
Исходим из второй формулы Чаплыгина — Блазиуса
L = Re[--2 $z(4r)2dz]- (13л>
Используя разложение (12.4) для > получим
K4r), = ?ii» + 2S»ir+Ks.-Sr)7+ <13'2»
Подставляя (13.2) в (13.1) и применяя теорему о вычетах, находим
L = Re [— f 2л/ (2A2vM - -^г)], т. е.
L = — Re (2nipv00A2). (13.3)
Момент может быть вычислен по формуле (13.3), если известно разложение (12.3) комплексной скорости, точнее, если известен коэффициент А2 в этом разложении. Часто, однако, удобно пользоваться разложением отображающей функции z = f (?) в окрестности бесконечно далекой точки. Это разложение имеет вид
z — kt, kо Н—jr- + -ф- + . .. (13.4)
Перейдя в интеграле (13.1) к переменной ?, придем к выражению для момента через интеграл по контуру в плоскости t,
L = Re[-|.§2(a(^)!f-dS]. ,13.5)
Для вычисления этого интеграла надо получить разложение подынтегральной функции, чтобы найти коэффициент (вычет)
при Используя выражение (7.8) для W(?) и разложение
(13.4), находим
( dW \2 = -\-2kv _L_J___( Г1 -L 2k2v v R2} ——I-
V dl ) 00 ^ ” 2я/ E V 4л2 ^ AR v°ov~K ) t* ~r ¦¦¦’
(13.6)
гЖ==гЧГ={к^ + ко + т+ "От kTT =
Ж k~^+
= (? + ^ + 4LT+ + ¦•¦) =
¦=S + X + TL|+ ••• (13.7)
157
Имея (13.6) и (13.7), получим разложение подынтегральной функции
2 ^ = + с° + [2кой°* 4ti+2kk^L~
~ (¦??+2^2u°o^2)] у+-р- + ...
Применив теорему о вычетах к интегралу (13.5), найдем момент L:
L = Re {- ^2m[2kav^ + 2- (? + 2^то?^)]} .
(13.8)
Выражение в круглых скобках вещественно, поэтому формула для момента окончательно примет вид
L = Re[— *0рутоГ — 2nikklpv2co]. (13.9)
§ 14. ОБТЕКАНИЕ ПЛАСТИНКИ
Пусть в плоскости х, у мы имеем отрезок [—а, а], расположенный вдоль оси х. На этот отрезок под углом а набегает поступательный поток, скорость которого в бесконечности равна vx.
Нам известно решение (g) задачи об обтекании круглого цилиндра. Чтобы воспользоваться им, надо знать конформное отображение внешности круга на внешность отрезка [—а, а]. Преобразование Жуковского
Рис. 29.
переводит круг единичного радиуса в плоскости ? в отрезок прямой плоскости z = х -f- iy (рис. 29). Действительно, на окружности R = 1 имеем ? = е10. Подставив эти значения Z, в (14.1), получим
а (14 2)
= х + iy = у (ею + е~ш) = a cos 0; х = a cos 0, у = О,
(14.3)
т. е. окружность переходит в дважды пробегаемый отрезок [—а, а] оси х (верхняя полуокружность переходит в верхний берег разреза, нижняя — в нижний).
Получим преобразование, обратное (14.1), т. е. функцию t = F(z). Согласно (14.1)
a?2-2z? + a = 0, ? = -г ± ^ ~ a' . (14.4)
158
Чтобы преобразование ? = F(г) переводило внешность отрезка во внешность круга, надо выбрать в (14.4) знак плюс. Таким образом, обратное преобразование имеет вид
Имея (14.5), можем записать комплексный потенциал обтекания пластинки. Учитывая, что в нашем случае
ft=4fL = T’ = = Я = 1> 04.6)
получим
w (г) = Y ?)„ (z + V22 — а2 ) +
+ j v^iz — л/z2 — а2) + In (г + д/г2 — а2 )• (14.7)
Заметим, что формулу (14.7) можно было бы получить непосредственно из формулы (8.9), рассматривая пластинку как предельный случай эллиптического цилиндра, у которого полуось b = 0.
В формулу (14.7) входит циркуляция Г. Для ее определения имеем постулат Чаплыгина—Жуковского. Непосредственное его применение затруднительно, так как у пластинки имеются две острые кромки. Нас интересует пластинка как модель закругленного спереди тонкого профиля с задней острой кромкой. Скорость в задней острой кромке будет конечна, если в соответствии с постулатом Чаплыгина — Жуковского циркуляцию определим по формуле (9.9):
Г = 4nkR | vх | sin (0О — а).
Здесь а — угол, образуемый направлением невозмущенного потока с осью х; 0О — угол, определяющий положение в плоскости ? точки А', в которую переходит задняя острая кромка А.
