Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
139
П р и м е р 6. Рассмотрим течение, вызываемое присутствием в начале координат источника и вихря:
w,(z) = ^\nz, w2(z)=-^r\nz,
w (z) = Wi + w2 = q In z. (5.5)
Течение, описываемое комплексным потенциалом (5.5), называется течением от вихреисточника. Найдем линии тока в этом течении:
ф + ^ ^ ? ~2яГ (1п г +
ф==1Г^1пг + Г0^’ ^ = — Г1пг).
Линии тока = const есть линии тока, на которых qQ — Г In г =
— const. Обозначим постоянную через Г In с; тогда
4- о
<70 = Г In — , г = се 1
Линии тока — логарифмические спирали. Линин ср = const — также логарифмические спирали, ортогональные к линиям -ф — const. Если вихреисточник расположен в точке а, то w = q~^T 1п — а)-
§ 6. ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ОБТЕКАНИЕ КРУГОВОГО ЦИЛИНДРА ПОТОКОМ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Пусть круговой цилиндр радиуса R движется со скоростью U в потоке жидкости, имеющем на бесконечности заданную скорость V, причем скорости U и V перпендикулярны оси цилиндра. Выбрав плоскость (х, у) перпендикулярно образующим цилиндра, получим плоскую задачу о течении жидкости вне круга, движущегося со скоростью U (Ux, Uу, 0) в потоке, имеющем на бесконечности скорость V (Vx, Vy, 0). Пусть в начальный момент времени ось цилиндра проходит через начало коор^ динат (рис. 22).
Так как движение плоское и безвихревое, то существуют комплексный потенциал w(z) и комплексная
V UL_ и
f *
__и, Т /1 \
!г I х
Рис. 22.
dw
скорость v (z) = . Начнем наше рассмотрение с комплексной
скорости. Из физических соображений ясно, что функция v(z) =
— vx — i’.Vy должна быть определена во всех точках плоскости
140
(х, у) вне круга радиуса R. Она должна быть всюду однозначна, ограничена и принимать на бесконечности заданные значения. Такая функция комплексного переменного может быть разложена в ряд Лорана по неположительным степеням z:
/ /
й (2) — Со + — + -ф +¦ + • • . (6-1)
Z ? &
Первый член этого ряда легко находится из условия в бесконечно далекой точке
v (z) 1^= V= V х — iVy.
При 2 = oo из (6.1) следует
Vx-iVy = cQ. (6.2)
Подставляя (6.2) в (6.1), имеем
^ = v{z) = Vx-iVy + ^ + ^ + ... (6.3)
Проинтегрировав ряд (6.3) по 2, получим комплексный потенциал
w{z) = {Vx-iVy)z + c\nz + Y~ (6.4)
Комплексный потенциал (6.4) обеспечивает выполнение условий на бесконечности при любых значениях постоянных с, сь ...
..., сп, ... Эти постоянные надо определить так, чтобы было выполнено условие обтекания цилиндра
vn ls = Un. (6.5)
Так как движение потенциальное, то vn~^[- В полярных
координатах г, 0 условие (6.5) на поверхности цилиндра г = R запишется в виде
^¦\г_в==и* cos9 + [/ysin0. (6.6)
Для того чтобы найти постоянные, входящие в w (2), удобно перейти в выражении (6.4) к полярным координатам, отделить вещественную и мнимую части tp и i|) и, продифференцировав ф
nor, подставить в (6.6). Полученное равенство будет служить для определения с, сь ..., сп, ¦..
Искомые коэффициенты будут, вообще говоря, комплексными. Положим
с = А + iB, сп = Ап-\- iBn, (6.7)
2 = гет (6.8)
141
и, подставив (6.7) и (6.8) в (6.4), получим ш (г) = ф + п|> = (V х — iVy) г (cos 0 + г sin 0) + (Л + iB)(\nr + ;'0) + + 041 + LB\) — (cos 0 — i sin 0) +
+ У (An + iBn) -4- (cosnO — /sinn0). (6.9)
A-J'n = 2 r
Из (6.9) легко получить выражение для ф и "ф. Выпишем
„ <5т
выражение для ф и ироизводпои :
ф={у*?+41) c°s 0+{ууг + 41)sin 9+л ln г—
— В0 + У (4fcos«0 + -^-sinftO); (6.10)
*—'и. = 2 'ч '
(Vx ~ тг) cos 0 + {у и - sin 0 + — -
__ оо
— / ' п+\ (^nCOS/гО -f flrcSinrcO). (6.11)
iL“/ri = 2 Г
Положим в (6.11) r = R и, подставив 1 в условие обтекания (6.6), будем иметь
(Vx —-^f) cos0+ — -|f) sin0 + ^--~~У] —;ГТГ (^n cos пв -)- В,г sin nQ) = Ux cos 0 -)- Uу sin 0. (6.12)
п = 2 R
Справа и слева в (6.12) стоят ряды Фурье. Сравнивая соответствующие коэффициенты, получим
А = 0, Vx-^=UXt Vy-^ = Uy, Ak = Bk = 0 (* = 2,3, ...), откуда
Л = 0, А \ = (Vх — Ux) R2, B\ = (Vу — Uу) R2, Ak — Bk — 0 (6.13)
