Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
двух волн, движущихся в противоположных направлениях со
скоростью ао. Таким образом, скорость звука можно интерпретировать как скорость распространения малых возмущений в покоящемся газе. Законы распространения звука в движущейся и покоящейся средах изучает акустика.
124
ГЛАВА X!
ОБОБЩЕННЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ДВИЖЕНИЯ
В данной главе рассматривается задача о течении газа в трубе, поперечное сечение которой F(x) меняется медленно вдоль оси трубы х. В этом случае можно построить приближенное решение указанной задачи, используя тот факт, что составляющая скорости vx изменяется мало по сечению трубы и поперечные
dvy dv2
ускорения -jj-, -jf малы.
§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ
Выпишем систему уравнений, считая, что жидкость баротроп-на и массовые силы отсутствуют:
^ + v *Ejl + v to*+v ЁЕ* ПП
dt +vx dx ^vy dy ^°z dz p dx *
dvy ______ 1 dp '
dt p dy ’
dvz___________________1_ dp t
dt p dz ’
(1.2) (1.3)
•f-+^4r+^f-+t’25-+pdivv=0; °-4)
р==Ф(р). (1.5)
dvy dvz
Предположим, что поперечными ускорениями можно пренебречь по сравнению с-^r. Тогда из формул (1.2),
dvy dvz
(1.3), если в них положить= -jj- — 0, получим приближенные равенства
!§- = 0, -If- —0. (1.6)
Из равенств (1.6) следует, что давление р, а из (1.5), что и плотность р зависят только от х и t, т. е.
p = p(x,t), Р — ?(х, t). (1.7)
Предположим, что vx также есть функция только х и t, т. е. что оставшимся уравнениям можно удовлетворить, положив
и* = »*(*. О- (1-8)
125
Система уравнений (1.1) — (1.5) в силу (1.7) и (1.8) примет вид dv.
?р_
dt
dt
др
I dvx + У* -37 = ~ T
dx 'dv
_ i?_-
p <3* '
/do* dvy dvz\
+ P [~дТ + Ж + ^):
dx dy
р = Ф(р).
0;
(1.9)
(1.10)
(1.11)
В этой системе три уравнения и пять неизвестных функций. Преобразуем уравнение (1.10) так, чтобы из него исчезли vy и vz, и тем самым получим систему трех уравнений для определения интересующих нас величин (1.7) и (1.8).
Рис. 15.
Проинтегрируем уравнение (1.10) по поперечному сечению трубы F:
№+»*?+р?+р(?+?)]¦*-<>¦
F
Три первых слагаемых не зависят от у и г, поэтому (1.12) можно переписать в виде
F
Преобразуем интеграл в формуле (1.13). Учитывая, что р постоянно по сечению: p = p(x, t), и вводя вектор поперечной скорости и = vy)-\- vzk, получаем
+ '37')d'S==p SS u dS = 9 § un di- (1-14)
F F I
Перемещение частиц за время Д^ можно представить как сумму перемещения вдоль оси х на расстояние Ах = vx At и перемещения в поперечной плоскости и Д^ (рис. 15). Частицы с контура I
перейдут на контур I'. Расстояние по нормали от I до V равно
Ап = ип At. Изменение площади равно площади кольца
AF An dl з* Д/ф ип dl, <§> ип dl — lim . (1.15)
126
Заменяя в (1.13) согласно (1.14) двойной интеграл криволинейным и учитывая (1.15), получаем
Считая, что труба не деформируется, т. е. = vx , запишем (1.16) в виде
Уравнения (1.18), (1.9) и (1.11) образуют систему уравнений для отыскания vx, р, р. Для установившихся течений эта система приобретает вид
Уравнения (1.19) могут быть легко проинтегрированы. Решение задачи об одномерном установившемся движении жидкости получим в виде
Второе уравнение в (1.20) есть запись интеграла Бернулли для полученного приближенного решения задачи. Пренебрежение поперечными ускорениями, принятое вначале, равносильно тому, что в выражении для v2 мы пренебрегаем величиной v2 + ^ по сравнению с v\.
Так, например, если взять трубу с углом полураствора а, таким, что tg ct < 0,1, то (v2 + vl)/vl < 0,01, т. е. указанное рассмотрение дает точность порядка одного процента.
§ 2. ДВИЖЕНИЕ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ
Для несжимаемой жидкости р = р0 — const. Площадь F = F{x) задана. Решение имеет вид
Постоянные А а В определяются по заданным характеристикам в некотором сечении. Так, при х — xQ (F(x) = F(x0) — F0)
127
(1.16)
dF
d F
(1.17)
