Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
2 | 2
< + VU . Р
0. (1.3)
+ -+К = С. (1.4)
130
Уравнение энергии для несжимаемой жидкости, если нет притока тепла, дает
-ff = °, (1-5)
т. е. для несжимаемой жидкости энергия в частице сохраняется.
Уравнения (1.2), (1.3) содержат лишь функции vx и vy. Уравнение (1.4) может быть использовано для нахождения давления, если известны скорости vx и vy.
§ 2. ПОТЕНЦИАЛ СКОРОСТЕЙ
Условие отсутствия вихря имеет вид
dv,, dvx
-------—i = О, (2.1
дх ду ’ 4 '
вследствие чего существует функция ср(х,у), такая, что
dtp = vx dx + vy dy, (2.2)
»«=lr (2-3)
Потенциал скоростей несжимаемой жидкости, как уже было показано и ранее, в силу уравнения неразрывности (1.2) удовлетворяет уравнению Лапласа
?+?-<•¦ м
Решение уравнения (2.4) должно удовлетворять граничным условиям. В случае обтекания тел однородным безграничным потоком решение должно быть таким, чтобы на бесконечности скорость потока была равна заданной величине Voo, а на поверхности S тела было удовлетворено условие обтекания, т. е.
дф
~дх
<3ф
7) ——
^ооХ> ду
дер
дп
= 0. (2.5)
Задача нахождения решения уравнения Лапласа по заданному значению нормальной производной на границе называется задачей Неймана. В случае, если область бесконечна, имеем внешнюю задачу Неймана с граничными условиями в виде (2.5).
§ 3. ФУНКЦИЯ ТОКА
Из уравнения неразрывности (1.2) следует
Равенство (3.1)—условие того, что дифференциальная форма vxdy — Vydx есть полный дифференциал некоторой функции
'И*,*/) ,
vxdy — vydx — d(3.2)
и, следовательно,
а* =
dip
~ду'
(Эф
Их
(3.3)
Для плоских течений несжимаемой жидкости (вихревых и безвихревых) в силу (3.1) всегда существует функция ф.
Выпишем уравнение линий тока для плоского случая:
Из (3.4) следует
dx
Vx
dy
vx dy — vy dx = 0.
Сравнивая (3.5) и (3.2), видим, что вдоль линии тока
d\|> = 0, г|з = const.
(3.4)
(3.5)
(3.6)
Функцию т!р(х,у) называют функцией тока. Равенство г|: (х, у) = = const дает уравнение линии тока. Различные значения постоянной соответствуют разным линиям тока. Через функцию тока может быть вычислен расход жидкости, протекающей через кривую АВ (через кусок цилиндрической поверхности высотой Дг = = 1 с направляющей АВ). Расход через кривую АВ
Q—^AVnds =
Рис. 16.
[vx cos (п, х) + vy cos {п, у)\ ds. (3.7)
J А
Если dx, dy — проекции элемента кривой ds, то очевидно (рис. 16)
cos («,«/) = — • (3.8)
cos (С*)= If-
Подставляя (3.8) в (3.7) и вычисляя интеграл, получаем
Q— dy ~ v« d*)= (i* dy+izdx)=
= аЪ = Ъв — Ъл, (3.9)
т. е. расход жидкости через кривую равен разности значений функции тока в концах этой кривой.
132
Для плоского течения имеется простая связь между функцией тока и вихрем скорости
dv„ dvx d2ib d2ih
Если движение безвихревое (О = 0), то т]з удовлетворяет уравнению Лапласа
Дг]з = 0. (3.11)
Уравнение (3.11) служит для нахождения функции при соответствующих граничных условиях. Пусть жидкость обтекает непроницаемую поверхность тела. На этой поверхности vn = 0. Запишем это условие через функцию тр, используя (3.3) и (3.8):
cos (Сх) + vy cos (G) = ^7 + if 17 = • <3'12)
Получаем, что на контуре тела должно быть выполнено условие =0, т. е. "ф|s = const—-функция тока — сохраняет постоянное значение на s. Это означает, что граница тела должна быть линией тока. Физически это очевидно.
Таким образом, в случае безвихревого движения функция тока ^ может быть найдена как решение уравнения Лапласа
(3.11), удовлетворяющее граничным условиям на бесконечности и на поверхности тела:
4^ = о»,, г|>(*,0)|4 = С. (3-13)
дх
Задача отыскания решения уравнения Лапласа по заданному значению функции на границе называется задачей Дирихле. Для внешней задачи Дирихле условия имеют вид (3.13).
Обратим внимание еще раз на то, что если потенциал скоростей существует только когда движение безвихревое, то функция тока существует всегда. При безвихревом движении функция тока удовлетворяет уравнению Лапласа.
