Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
Отсюда окончательно получим
(1.18)
О
Отсюда
(2.2)
(2.1)
должны быть заданы ил.|^ ^ = и", р |,.=д.о = р0. Вместо скорости можно задать расход Q = P^F0. Из решения видно, что с увеличением сечения F скорость vx убывает, давление возрастает.
§ 3. ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ В ТРУБЕ ПЕРЕМЕННОГО СЕЧЕНИЯ. СОПЛО ЛАВАЛЯ
Формулы (1.20) дают общее решение задачи. Постоянные, содержащиеся в этом решении, находятся по данным гидродинамическим элементам в некотором сечении. Постоянная С\ —
— Q — расход жидкости. Из (1.20) все интересующие нас величины vx, р, р могут быть .найдены в любом сеченни F = F(x). Решение закончено. Однако здесь интересно исследовать характер течения. Для этого прологарифмируем и затем продифференцируем первое равенство из (1.20), а второе равенство
запишем в дифференциальном виде. Тогда будем иметь
— + — + ^1 = 0; (3 л)
р Vjc'F 4 ’
VX dvx + ~ = 0. (3.2)
Используя соотношение р = Ф(р), можем найти ^-. Известно,
что — квадрат скорости звука. Подставляя dp = a2dp в уравнение (3.2), получаем
a2d2_==_VxdVx' (3<3)
Равенство (3.1) с учетом (3.3) можно переписать в виде
(v\ Л dv dF
{¦Ф-Ч -5? = —• <3'4)
Соотношение (3.4) позволяет сделать ряд выводов. Будем для определенности считать vx > 0. Знак скобки в (3.4) зависит от того, с каким течением мы имеем дело.
1. Пусть М = < 1, т. е. vx < а,— скорость течения мень-
ше скорости звука. Тогда если площадь F уменьшается, dF < 0, то dvx > 0 — скорость увеличивается. Если dF> 0 — сечение увеличивается, то dvx <С 0 — скорость уменьшается.
2. Пусть М = -^ > 1, г. е. vx> а,— скорость потока больше
скорости звука. В этом случае если dF < 0, то и dvx < 0, т. е. с уменьшением сечения уменьшается скорость. Если dF > 0, то и dvx~> 0 — увеличение сечения ведет к увеличению скорости.
Таким образом, в дозвуковом потоке, как и в несжимаемой жидкости, уменьшение сечения ведет к увеличению скорости, и
128
наоборот. В сверхзвуковом потоке скорость увеличивается, если растет площадь сечения. Если скорость в потоке равна скорости звука (vx = ct), то из (3.4) следует, что dF — 0, т. е. это возможно лишь в сечении, где F(х) имеет экстремум. С этими рассуждениями связана гидродинамика сопла Лаваля — трубы, которая служит для перевода дозвукового потока, т. е. потока с малой скоростью, в сверхзвуковой поток. Чтобы получить переход от дозвукового потока к сверхзвуковому, труба должна иметь суживающуюся (конфузорную) часть, в которой скорость потока увеличивается до скорости звука в минимальном сечении, н затем расширяющуюся, в которой мог бы ускоряться сверхзвуковой поток. В минимальном сечении vx = а, т. е. М = 1. Скорость потока, равную скорости звука в данном месте, называют критической.
ГЛАВА XII
ПЛОСКИЕ БЕЗВИХРЕВЫЕ УСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ
Течение называется плоским, если все частицы движутся параллельно некоторой плоскости, причем скорости частиц в соответствующих точках плоскостей, параллельных этой фиксированной плоскости, одинаковы по величине и направлению. Очевидно, в этом случае достаточно рассмотреть течение в одной плоскости, которую можно принять за плоскость (х, у). При таком выборе системы координат все величины будут зависеть
только от координат х, у. Это означает, что vz = 0, = 0. Так
как течение предполагается установившимся, то-^- = 0. Следует иметь в виду, что, говоря о течении в плоскости, мы фактически рассматриваем течение в слое между плоскостью (х, у) и ей параллельной. Так, например, обтеканию контура в плоскости (х, у) соответствует в пространстве обтекание цилиндра, для которого контур в плоскости (х, у) является направляющей.
§ 1. СИСТЕМА УРАВНЕНИИ
Так как жидкость несжимаема, то плотность постоянна и должна быть известна: р = ро. Искомые функции
vx = vx(x, у), vy = vy(x,y), р = р(х,у), Е = Е (х, у). (1.1)
Уравнениями плоской задачи являются уравнение неразрывности, уравнения Эйлера в проекциях на оси х и у и уравнение энергии. Для несжимаемой жидкости уравнение неразрывности будет иметь вид
di'x dvu
ИГ + ИГ = °- (»-2)
Будем считать, что массовые силы консервативны или отсутствуют. Тогда при предположениях, сделанных в данной главе, справедлив интеграл Эйлера — Бернулли. Поэтому вместо уравнений Эйлера используем условие отсутствия вихря и интеграл Эйлера — Бернулли.
Условие отсутствия вихря rot v = 0 для плоского движения, когда й = kQ2, приводит к равенству
dvy dvx
дх ду
Интеграл Эйлера — Бернулли имеет вид
