Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
скоростей вычисляются по формулам vt = .
136
Для цилиндрических координат q\ = г, q2 = 0, q3 = z коэффициенты Ламе равны Нх = 1, Н2 = г, Н3 = 1 и проекции скоростей запишутся в виде
<5ф _ <5ф m ______ (5ф __ 1 (Эф __ (Эф ____ Зф
Г V~ '
ds, ’ ~н ds2 г (30 ’ <3s3 дг
Вернемся к рассмотрению течения, определяемого комплексным потенциалом w (г) = In г. Проекции скоростей на оси полярных координат будут
<3ф а 1 1 йш л
Отсюда видно, что скорость постоянна по величине на каждой окружности с центром в начале координат, направлена по радиусу и убывает с ростом расстояния г. При q > 0 скорость направлена от центра (vr > 0), при q <
< 0 — к центру (vr < 0). Формула
(5.1) дает комплексный потенциал течения от источника (стока), расположенного в начале координат.
Выясним смысл величины q. Подсчитаем расход жидкости Q через контур, охватывающий начало координат. Записывая интеграл по замкнутому контуру как интеграл от А до В, где Ли В — совпадающие точки контура, получим
Q = § vn ds = ^ dip = = ~2n = q.
Таким образом, q — обильность источника. При q 0 имеем
источник, при q < 0 — сток (источник отрицательной обильно-
сти). Если источник расположен не в начале координат, а в точке z = а, то комплексный потенциал будет иметь вид
Рис. 19.
W (г) = 1п (г ¦
а).
Пример 4. Пусть в точке А плоскости (х, у) расположен источник обильности q, в точке В — источник обильности —q (сток), причем комплексные координаты точек (рнс. 19)
_ pia 2 ’
гв = -те'*.
Комплексный потенциал течения, вызываемого каждым из источников, имеет вид
,(z) = ^ln (г
WA |
Ъ'в (г)
-к In (2 + 4 е'“) .
137
Комплексный потенциал суммарного течения w (z) = wA (z) + wB (z),
W(z) = ^\n
z- — ela Z 2
‘+t*“
Предположим, мы рассматриваем такую точку г, что \г\ >• /. Тогда, раскладывая логарифмы в ряды по —, получаем
, ч <7 1 ' 2 z е
w(z)=-2^1п
i'a
2п
(-?«*
I
2 г
= — — eia + ...
2я z 1
Пусть /-> 0, а обильность q ->¦ оо, причем так, чтобы произведение оставалось постоянным: ql = М. Тогда для такого
предельного течения комплексный потенциал будет иметь вид
ffl(z) = -?Te'a' <5’2)
Формула (5.2) дает комплексный потенциал течения от расположенного в начале координат диполя с моментом М и осью диполя, образующей угол а с осью х. Ось диполя принято направлять от стока к источнику.
Изучим картину течения от диполя. Не уменьшая общности, положим a = 0, т. е. рассмотрим диполь, расположенный в начале координат, ось которого совпадает с осью Ох (рис. 20). Функции w (z), ср, ^ будут иметь вид
/ \ Ml . ..
w(z) — ~~2nT' Ф + ”!> = —
М х — iy
ф= — ¦
М
г|> =
2я х2 + у2 ’ М у
(5.3)
2л х2 + у2 ’ т 2я х2 + У2 Линии тока \J) = const есть линии, на которых
X2 + (у — с)2 = с2.
У 1
+ У2 2 с
Линии тока — окружности, проходящие через начало координат, центры которых лежат на оси у. Аналогично линии равного потенциала ф = const — окружности (х — с)2 + у2 — с2, проходящие через начало координат с центрами на оси х. Скорости
138
легко вычислить, имея (5.3). Если а ф 0, то вся картина поворачивается на угол а. Если диполь расположен в точке z = а, 1 \ М ia '
ТО и, (г) = _ _ е.« .
Пример 5.
w (г) = In 2. (5.4)
В полярных координатах
ш & = гнг <1п Г +=~k9 “ ln'r>
Ф = ^0, Ф=--^1пг.
Линии тока ф = const есть окружности с центром в начале координат, линии qp = const есть лучи 0 = const (рис. 21).
Частицы жидкости перемещаются по окружностям со скоростями
(Эф 1 (Эф Г 1 v&==vs — 7Ж_ ~2п~'
Начало координат г=0 (центр окружностей) является особой точкой. Скорость ие > О при Г > 0, т. е. положительному значению циркуляции соответствует движение по окружности против часовой стрелки.
Иногда говорят о «направлении циркуляции», понимая под этим направление движения жидкости (Г > 0 — против часовой стрелки, Г <С 0 — по часовой).
Установим смысл величины Г. Возьмем контур I, охватывающий начало координат, и вычислим циркуляцию скорости у по этому контуру:
y = §vtds = §^ds = §d<p = (о2Я^0 = Г.
Таким образом Г — циркуляция скорости по замкнутому контуру, охватывающему начало координат.
Течение, определяемое (5.4), есть течение от вихря. Если вихрь расположен в точке z = а, то комплексный потенциал ш & = 1п - а)•
