Лекции по гидроаэромеханике - Валландер С.В.
Скачать (прямая ссылка):
(15.9)
Когда точка А' движется по верхней части окружности L от В' к С', угол — р2 (или ZC'A'B') сохраняет постоянное значение как вписанный угол, опирающийся на дугу С'В'. При этом угол а\ — а2 (или ZCAB) тоже сохраняет постоянное значение, т. е. линия, которую описывает точка А в плоскости z', является
162
дугой некоторой окружности. Когда точка А' движется по нижней части окружности L от С' к В', точка А также пробегает некоторую дугу окружности в направлении от С к В.
Покажем, что точки D' и Е' пересечения окружности L с мнимой осью плоскости ?' отображаются в одну и ту же точку плоскости z'. Действительно, точке D' соответствует комплексная координата ?d- = (k -)- k2 -)- с2) i, а точке Е'— t,'E, = (k —
— -\/б2 +с2)/.Согласно (15.4) отображением D' в плоскость г'
будет являться точка D, у которой
z' = (k + л!k2 + с2) i + т-----с . = 2ki,
D ' ^ (fc + V'?2 + С2) (-
а отображением Е' в плоскость z' — точка Е, координата которой
(k — V&2 + с2) i
ze = (k ~ V^2 + с2) г + 77----------------------------------,¦ -7Л . = 2ki = z'D.
Отсюда следует, что каждая из дуг B'D'C' и С'Е'В' окружности L переходит в одну и ту же дугу BDC плоскости г', но проходимую в противоположных направлениях (рис. 31,6).
Таким образом, преобразование (15.4) отображает внешность круга L плоскости ?' во внешность дужки BDC плоскости z'. Задача об обтекании дуги может быть решена через задачу об обтекании круга.
Рассмотрим теперь проходящую через точку В' окружность Lb центр которой G' находится на продолжении отрезка B'F' на расстоянии е от точки F'. Окружность L\ будет иметь радиус, равный л!к2 + с2 + е, и будет касаться окружности L в точке В'. Так как L\ охватывает окружность L в плоскости tf, то контур на плоскости z', в который переходит окружность L\, будет охватывать дугу BDC, но при этом, подходя к точке В с двух сторон, он будет касаться дуги BDC (по теореме о сохранении углов). Полученный таким образом контур носит название яро-филя Жуковского. При заданном расстоянии 4с в плоскости z' профили, получаемые применением преобразования Жуковского к окружностям L\, характеризуются двумя параметрами. Параметр k, равный расстоянию по мнимой оси до центра основной окружности L, в плоскости z' характеризует изгиб или кривизну профиля (его скелетной дужки). Параметр е, равный сдвигу F'G' по радиусу центра новой охватывающей окружности L\ относительно центра основной окружности L, характеризует толщину профиля (его телесность). Таким образом, профили Жуковского образуют двупараметрическое семейство, зависящее от параметров ?/с и е/с.
Если через центр G' новой окружности L\ провести координатные оси gi и г|ь параллельные осям |' и rf, то точки
6*
163
комплексной плоскости ?[ будут связаны с точками плоскости ?' преобразованием
= + g, (15.10)
где g — комплексное число плоскости соответствующее век* тору OG'. Так как OG' = OF' + F'G', то
ц = Ы-\-ге^ 2 ^ = ki — ее ~ (15.11)
Здесь через у/2 обозначен угол G'B'C', lg(y/2)= k/с. Подстав-
ляя (15.10) в (15.4), получим
z' = b+B + x?j’ (15-12)
где g определено формулой (15.11).
Б. Графическое построение профилей Жуковского
Рассмотрим один из приемов построения профилей Жуковского, указанный Треффтцем.
Рис. 32.
Профиль Жуковского в плоскости г' получался применением преобразования (15.4) к окружности h в плоскости Пусть в плоскости ?' мы имеем окружность с центром в точке G'{
^g0/=ft( — ге 2 ^ радиуса -у/к2 + с2 + е (рис. 32). Проведем преобразование инверсии
(15.13)
В результате преобразования окружность L\ перейдет в окружность Li {в теории функций комплексной переменной доказывается, что дробно-линейное преобразование, частным случаем которого является (15,13), переводит окружность в окружность). Точка ?' = с переходит в точку ?" — с, т. е. окружность ?.>
164
также проходит через точку В*. В силу конформности преобразования окружность 1а будет пересекать вещественную ось под тем же углом, что и Lit т. е, Ц и Lt будут касаться друг друга в точке В\ Отсюда следует, что центр С2 окружности Ls лежит на прямой B'G'r
Покажем, что луч 0G' является отражением луча OG\ относительно мнимой оси, Проведем перпендикуляры G\D[ и G'„D'
od\ od'„
К вещественной оси и докажем, что —т-г Из рис. 32
Q\D\ GjDj
видно, что
OD' = B'D[- с = у S'C; - с (15.14)
и
OD'2 = c~ B'D‘2 = с - у В'С'2. (15.15)
Так как треугольники B'G'D' и B'G2D2 подобны треугольнику B'F'O, то
jl-'j
G'.d', Gf„D' f'o к
