Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
что константа нормального упорядочения в (22.28) выбрана верно. Любой
другой выбор нарушал бы лоренц-инва-риантность в размерности D, так как
(D - 2) состояний не могут реализовывать представление SO(D-1).
На втором уровне имеем
(Д-2НД- 1) + _ 2) = _Д_(Д-_1_) _ j (22.60)
состояний на массовой поверхности. Их можно отождествить только с
представлением группы SO(D-1), задаваемым симметричным бесследовым
тензором второго ранга. Будем называть его "чистый спин 2". На массовой
поверхности он описывается полем hfiv = hvll, удовлетворяющим уравнениям
dilhllv=^hll'l = (d2-m2)hllv = 0. (22.61)
Соответствующий проектор хорошо известен [194]. Он включает слагаемые
вида д^дкдрда/ (д2)2, и, следовательно, умножение на (д2)
не приводит к локальным уравнениям поля. Дей-
ствительно, способа описать лоренц-ковариантным образом только массивную
частицу спина 2 в терминах hpv = hvv. с условием /г? = 0не существует.
Корректные уравнения движения требуют введения дополнительного поля ф и
имеют вид
(- д2 + гп) ftpv + dvd' hpv) 2 д°д hp^ =
= (22.62)
== (д2 - dD_2 m2)ф.
Эта система уравнений приводит к требуемому результату:
0 = = (д2 - т2) h^y. (22.63)
Приведенные уравнения иллюстрируют общий метод [192] введения добавочных
полей для описания распространения полей высших спинов. На втором уровне
струна содержит поля и А2ц; но последнее можно устранить калибровкой,
оставив
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ 289
одно бесследовое поле h^v Таким образом, чтобы воспроизвести уравнения
массивного поля спина 2, требуется одно дополнительное поле ф. Это поле ф
является низшей компонентой до-лолнительного струнного поля х(2> [^(а)]:
х<2) (а)] = {ф (х) + . . .} (а) 10). (22.64)
Найдем теперь калибровочно-ковариантное действие на следующем уровне.
Исходя из функционала действия (22.51) и ослабляя связи (22.48) первого
уровня, потребуем, чтобы ф и -^(2) удовлетворяли условиям
Z-зф = L2L!2ф = Lj3i(i = . .. = 0,
= '22'65>
Наиболее общее выражение соответствующего порядка имеет вид
(Lo - 1 - 4" L-xLx - 4- yL_2L2) Ф + (i2-i + ~ pL_2) Х(2) = 0,
(22.66)
(L12 + j-pL2)q = (aL0 + b)Xt2>. (22.67)
Появление в формулах (22.66), (22.67) одного и того же
множителя (3 вытекает из требования, чтобы уравнения дви-
жения следовали из принципа действия. Альтернативный путь построения
калибровочной инвариантности состоит в требовании, чтобы действие L\ на
(22.66) давало нуль при выполнении условия (22.67). Используя это и
учитывая связи (22.65), получим
-Yl-i ( V + -J-\Ь2) ф + (4L_,L0 + 2L_i) х(2) + -f-|3L_,X(2) = 0.
(22.68)
Чтобы исключить ф в силу (22.67), необходимо выполнение равенства у = р.
В результате имеем
- - j- L_, (clLq + b) + L_, (4L0 + 2 + ± p) x<2> = 0. (22.69)
Следовательно, a = 8 и b = 4 + 9p. Аналогичным образом, действуя
оператором L2, приходим к заключению, что р = 1, а уравнения движения
имеют следующий вид:
290 ГЛАВА 22
Эта система уравнений в действительности инвариантна относительно
калибровочных преобразований
6!ij) = L_iAi, б]Х(2) = yLiAi' М> -?-2Л2, 62х(2) = -§- Л2,
(22.71)
где
L2Aj = LfAi = .. . = 0, L]A2 = L2A2= ... = 0. (22.72)
Подчеркнем, что уравнения (22.70) инвариантны относительно преобразований
с Лг только при размерности D = 26. Не исключено, что дальнейшее
включение дополнительных полей может ослабить это условие.
Соответствующее действие имеет вид [191]
4~(ф, (l0-1-^L_1L1-^L_2L2)^) +
+ (ф, (L-i + 4- L_2) х(2)) - 4- (Х(2), (8Z* + 13) Х<2)). (22.73)
что завершает анализ второго уровня.
Прежде чем строить действие для всех порядков, полезно переписать
результат для второго уровня в формализме первого порядка. Дополняя
слагаемые с и Тгф до полных квадратов, мы можем переписать (22.73) в виде
i- (ф, (Lo - 1) Ф) - 4- (М - 2L_1X<2), м - 2L_jX(2)) -
- 4 М ~ 6^(2)> - 6х(2)) - 2 (х(2), (Lo + 1) Л (22.74)
где использован тот факт, что для этого уровня Z-ix(2) = 0- Введем теперь
вспомогательные поля <?(1> и ^(2) и перепишем функционал действия в
следующей форме:
(А>-1)Ф) + (</>(1), 7,]ф + Z._i?\) + (</>(2), Т2ф + 3?\) +
+ (</,('), *0>) + 2(*Р>, ^)-4-(^> (A.+ DS1!), (22.75)
где
^ = -2х<2>.
Тем самым завершен анализ второго уровня. Соответствующие построения
вплоть до шестого уровня приведены в работе [191].
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ 291
22.5. Конечный набор
Построим теперь действие, которое калибровочно-инвариантно на всех
уровнях. Мы требуем калибровочной инвариантности относительно
преобразований
бф = L_iAl + L_2A2. (22.76)
Это получалось в качестве следствия построения для низших уровней, но
может также быть выведено из калибровочной инвариантности на массовой
поверхности связей Вирасоро или из соответствующих проекторов. Теперь эта
калибровочная инвариантность имеет место и вне массовой поверхности.
Поскольку з = -[L_2, ?-1], имеет место и калибровочная инвариантность
относительно преобразований бф = L-3Л3,; рассуждая аналогично, получаем
калибровочную инвариантность относительно бф = L-nAn для всех п > 1.
