Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
V + WF (*'")'= °. (22.17)
х'*Р]1 = 0. (22.18)
Область изменения параметра сг удобно расширить с интервала [0, л] до
интервала [-л, л], определив
( Xм- (сг) 0 сг ^ л,
х"(о)=\ а. \ (22.19)
I (- сг), - л^сг^О,
т. е. дД(сг)=дД(-сг). Используя это расширение, приведенные связи можно
записать в виде
у = 0. (22.20)
280
ГЛАВА 22
Переходя к коэффициентам преобразования Фурье этих связей
Я
L" = ^l J da{^fe~ino (22.21)
- Я
и пользуясь скобками Пуассона канонических переменных, получим для Ln
алгебру [184]
{Ln, Lm} = - i(n - т) Ln+m. (22.22)
Поскольку построенный по действию (22.14) гамильтониан обращается в нуль,
в качестве гамильтониана выбираем линейную комбинацию связей
оо
я= Е cnLn. (22.23)
П =- оо
Можно показать, что Ln являются генераторами двумерных конформных
преобразований мировой поверхности струны. Конформная группа в общем
случае имеет конечное число генераторов, и только в двумерном
пространстве-времени ее размерность становится бесконечной, что
соответствует наличию произвольных аналитических преобразований по г = о-
\-л. Действительно, плоская метрика, которая может быть записана в этом
случае как dzdz, при голоморфном отображении z->/(z) меняется только на
множитель. Появление двумерной конформной группы вместо первоначальной
двумерной общекоординатной группы, по-видимому, связано с выбором т
в качестве
времени при гамильтоновом подходе. Как мы увидим, алгебра Вирасоро и,
следовательно, конформные преобразования играют важную роль во вторично
квантованной калибровочно-ко-вариантной теории.
Фундаментальные скобки Пуассона в этой теории имеют вид
{х'1 (О), PV (а')} = б (О - Of") lfV, 24^
{/''(or), ACV(or')} = 0=={Ptl(or), PV(or')}-
Переход к квантовой теории совершается заменой этих соотношений на
коммутаторы и добавлением множителя Иг. Это можно получить подстановкой
(22.25)
Совершая эту замену в генераторах связей, получаем
Я
Ln = ^~\ doe~ina^{o)^v{a) т]^, (22.26)
- Я
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ' 281
где
1 дх^ 2ла' да
(22.27)
Наложим теперь на описывающий состояние струны функционал ф[лТ(о)],
который, как и в случае точечной частицы, не зависит от т, следующие
связи:
Это не совсем то, чего можно было бы ожидать. Появление в первом
уравнении -1 отвечает возможности добавления к Lo константы нормального
упорядочения, поскольку оператор L0 не определяется однозначно своим
классическим выражением.
Мы увидим, что значение -1 фиксируется требованием, чтобы спектр
состояний на массовой поверхности был свободен от духов. При вторичном
квантовании мы не требуем обращения в нуль на ф всех операторов Ln,
поскольку это привело бы к обращению в нуль и состояния ф в силу наличия
в алгебре Вирасоро центрального заряда, который мы обсудим ниже. Однако
из второго уравнения заключаем
все Ln обращаются в нуль, что согласуется с (22.20). Такая процедура
полностью аналогична формализму Гупта -Блей-лера в квантовой
электродинамике.
Необходимость связей (22.28) гарантирует следующая теорема:
Теорема [185]. Уравнения (22.28) описывают свободный от духов набор
состояний на массовой поверхности при условии, что размерность D
пространства-времени не превосходит 26.
В действительности при D С 26 возникают другие трудности, и в дальнейшем
изложении мы будем считать D = 26. Напомним, в чем разница между духами и
тахионами. Действие для скалярного поля
описывает духи при с<0 и тахионы при d < 0. Мы увидим, что открытая
бозонная струна обладает тахионом.
Теперь мы можем определить, каким требованиям должна удовлетворять
вторично квантованная калибровочно-ковариант-ная формулировка струн.
Прежде всего должен существовать функционал действия, из уравнений
движения которого следует уравнения (22.28). Можно, конечно, выбрать
определенную ка-
{Lq - 1) ф = 0, Lnф = 0, п ^ 1.
(22.28)
?ф = J й*х (- с (д^А)2 - dA2)
(22.30)
282
ГЛАВА 22
либровку, следствием которой будет равенство Ln = 0(п ^ 1). а (L0-1)ф = 0
останется уравнением движения. Далее мы ожидаем, что действие будет
локальным, т. е. свободная теория будет содержать пространственно-
временные производные не выше второго порядка. Получаемые при этом
действия будут содержать поля Янга - Миллса и гравитационное поле для
открытой и замкнутой бозонных струн соответственно и, таким образом,
обладать отвечающими этим полям калибровочными инвариантностями.
Следовательно, нужно показать, что калибровочные симметрии струны
содержат упомянутые выше симметрии.
Для квантования мы воспользуемся фейнмановским интегралом по путям,
используя при его определении построенное действие с подходящей фиксацией
калибровки и вводя поля духов. Амплитуда перехода вакуум - вакуум дается
выражением
До недавнего времени вторичное квантование в теории струн производилось
либо при явном присутствии связей, либо в конкретной калибровке, такой
как калибровка светового конуса [186], при которой связи разрешены.
Квантование линеаризованной теории с фиксированной калибровкой в рамках
