Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
... " для каждых а и Ь. Эти поля могут быть компактно записаны в виде
функционала который не имеет вакуумного состояния |+>, а в остальном
произволен:
Pol Х) = 0,
|Х> = ? ••• Л, (22Л36)
{m}{n} la l ft
Свободное БРСТ-действие дается выражением
<Х1Ро^|Х>=<Х|[РоРо, Q] I Х>, (22.137)
которое, конечно, уже не калибровочно-инвариантно, но БРСТ-пнвариантно, а
именно
S|X> = AQIx>, (22.138)
где К-антикоммутирующий параметр БРСТ-преобразования.
Продемонстрируем теперь, что действие с фиксированной калибровкой,
первоначально найденное Зигелем [187] другим способом, дает правильное
число степеней свободы. Запишем тензор А 1Х°с в виде
(22.139)
где он имеет с общих индексов. Такой тензор впервые
дает вклад на уровне М = ?"=1 mt -f ?г=1 щ + 2 ?.=1 pt
и является коммутирующим или антикоммутирующим в зависимости от того,
четно или нечетно число ? mt- + ? ni¦ Полное число (бозе- и ферми-)
тензоров на уровне М равно с(т) с производящей функцией
оо оо оо
? с(т)*'п = П(1-2^ + г8П) = П(1-*Т (22.140)
т=0 п-1 "=1
304
ГЛАВА 22
Поскольку каждый тензор дает вклад T26(N - М), полное число степеней
свободы на уровне N равно
N
р (N) = X с (т) Г26 (N - т);
т =0
окончательно имеем
оо оо N
? р (N) *'v = ? ? с (т) Г26 (W - т) xN~mxm = yv = 0 w=0m=0
со со оо оо
-По- *")! П = П о - *'ru=? г" (ло *".
"= 1 rt =1 rt = l п - 0
(22.141)
Следовательно, мы восстановили результаты подсчета числа степеней свободы
в калибровке светового конуса и подтвердили, что функционал <%|Q|%>
описывает спектр теории струны.
Гораздо более короткое доказательство этого утверждения таково [196]:
Z°° /11+11 +- -+ \
^ "n+PnPn+Mn) =
N
оо оо оо
= II (! - ХУ П (1 - X)26 = П (1 - х11)24 ' (22.142)
П=1 П=1 П=1
где мы воспользовались фермионной статистической суммой.
На этом мы заканчиваем обсуждение открытой бозонной струны. Приведенное
здесь систематическое построение свободной калибровочно-ковариантной
теории может быть легко перенесено на другие случаи. При этом прежде
всего находят конечный набор, затем обобщают его на бесконечный и далее
на универсальный набор. Последний записывается в удобной форме, используя
дополнительные координаты. Подсчет состояний производится тем же методом,
что и выше. Замкнутая бозонная и открытая фермионная струны строятся тем
же способом, что и открытая бозонная струна. Обсуждение свободных
калибровочно-ковариантных теорий этих струн читатель может найти в
лекциях автора, прочитанных в Триесте (1986 г.), и в приведенных там
ссылках на литературу. Лекции содержат и обсуждение калибровочно-
ковариантной теории взаимодействующих струн.
ПРИЛОЖЕНИЕ А ПОЯСНЕНИЕ ВЫБРАННЫХ ОБОЗНАЧЕНИИ
Использованные нами обозначения взяты из книги [6]. Конечно, они остаются
лишь обозначениями, и одна система обозначений по существу не лучше
другой. Но некоторые обозначения упрощают вычисления и, следовательно,
уменьшают вероятность алгебраических ошибок. Обсудим теперь обозначения,
выбранные нами из соображений простоты.
Метрика в пространстве Минковского определяется метрическим тензором г\тп
- (-,+,+,+)• Полностью антисимметричный тензор б равен
е0123 _ - е0123 = -(- 1. (АЛ)
Мы различаем индексы для плоского и искривленного пространств. Спиноры
могут иметь 2 и 4 компоненты. Если рассматривается объект с векторными и
спинорными индексами одновременно, то такие индексы мы называем
супериндексами. В приведенной ниже таблице систематизированы эти
обозначения.
Пространство Вектор 2-комп. спинор 4-комп. спинор
Супериндексы
Плоское т, п А, А а, Р М, N
Искривленное Ц, У А, А а, Р А, П
Супериндексы свертываются в "северо-западном" направлении (левый верхний
с правым нижним). Например,
%\м, Б mTmn\ ЕмЧх. (А. 2)
Эти свертки могут быть переписаны по определению через двухкомпонентные
спиноры и векторы следующим образом:
%MZM = гт1т + гАЪА + гА1А = (- *)м хм?м-
б%/ = smTmNR + гАТА/ + (А.З)
ЕМ~1 А = Ем\ + EU\ + Ем\-
306 ПРИЛОЖЕНИЕ А
Символ (-)м равен +1 при М = т и равен (-1) при М = А или М= А.
Двухкомпонентные спиноры %А, принадлежат представлениям (1/2, 0) и (0,
1/2) группы Лоренца. Их индексы можно поднять и опустить с помощью
инвариантных тензоров:
еАВ = еЛВ=-еАВ = -елв, е12=+1. (А. 4)
Заметим, что есвеВа =-еАвесв = блс. Причина появления знака минус станет
ясной, когда мы потребуем, чтобы выполнялось сформулированное выше
правило "северо-западного" свертывания четырех- и двухкомпонентных
объектов. Для поднятия и опускания спинорных инексов используются те же
правила, что и для супериндексов. Следовательно,
1А==ЪгВА' ХЛ = елвХв. ?д=?вввл- ?л=ел%. (А.5)
В результате 0л0д =-0Л0Л = 02 - лоренцев инвариант; аналогично получаем -
(-0^0д = - 0д9л =02- Следовательно, имеем
бд^в = у елв92- (А.6)
Матрицы (от)АВ = (1, о)АВ, где а-матрицы Паули:
-(CD- (?"о> С-П> <->
являются тензорами, инвариантными относительно преобразований группы
Лоренца. Опуская индексы матрицы (от)АВ, находим
(°т)Ав = + (°т)вА,
где (дт)ЁА = (-1, + а)ЁА. Заметим, что ат = (-1,а) и дт = - (+1. + °0-
