Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
-фа)- Поля ф+л и е+а образуют супермультиплет, преобразования вейлевской
суперсимметрии которого имеют следующий вид:
% 2
6е+а = >сву+фа, бф+= -7)+е, (21.70)
причем параметры суперсимметрии удовлетворяют соотношению
7)_е = 0. Левостороннее поле е_" - синглет относительно груп-
276
ГЛАВА 21
пы суперсимметрии, а поле на самом деле не появляется в действии
вследствие киральной связи, которой удовлетворяет поле % (т. е. = и мы
можем положить его равным нулю.
После обсуждавшихся выше упрощений из формул (21.62) получим законы
преобразования полей материи
бх11 == ё/^, б/4, = у+д_х^г. (21.71)
Левосторонние поля х^ и х1 - синглеты относительно группы вейлевской
суперсимметрии.
Действие инвариантно относительно вейлевских локальных лоренцевых и 5-
суперсимметричных преобразований, а также преобразований 10-мерной группы
Пуанкаре. Выбирая калибровку, в которой еаа = 8аа, Ф+ = 0, найдем, что
теория свободная, но со связями, следующими из уравнений движения полей
еаа и ф+.
22. КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ
Прежде чем рассматривать ковариантное квантование протяженного объекта, а
именно струны, полезно рассмотреть соответствующий переход от
классической точечной частицы к вторично квантованной теории.
22.1. Точечная частица
Траектория классической точечной частицы в пространстве-времени
параметризуется ее собственным временем т и описывается вектором Xм-(т).
Эта траектория должна быть такова, чтобы минимизировать действие
А = - dx 'sj - = у ^ dx {V 1xMxv'n(iV - tnV},
(22.1)
где х^ = dx^/dx. Эти формы действия инвариантны относительно
репараметризации собственного времени x-*~f(x) и преобразований хбх^ = f
(т)хК
Дадим гамильтонову формулировку для действия (22.1) в первой форме (те же
результаты можно получить и для действия во второй форме). Канонический
импульс и уравнение движения имеют вид
Как следствие репараметризационной инвариантности в системе имеется связь
Метод обращения с такими системами со связями был предложен в работе
[181], и мы применим его для точечной частицы. Читателей, желающих
ознакомиться с этим методом более детально, мы отсылаем к работе [182].
Гамильтониан выбираем пропорциональным связи, т. е.
^ бх^фт) д/_ дхРр = 0.
(22.2)
(22.3)
Ф = Р" + т9 = 0
и гамильтониан обращается в нуль:
Я - р^Хц - L = 0.
(22.5)
(22.4)
Н - и (х) (р2 + т2),
(22.6)
278 ГЛАВА 22
где и(т)-произвольная функция т. Можно показать, что в этом случае
дополнительных связей не возникает и Я порождает сдвиг во времени или
репараметризацию в том смысле, что
= Я} = 2г>(т)рК (22.7)
Скобки Пуассона динамических переменных, которые мы назовем
фундаментальными, равны
{х^, pv} = r]^v. (22.8)
Квантование теории произведем обычным образом, заменяя
скобки Пуассона (22.8) коммутаторами, что отражают подста-
новки
р|i-> - (22.9)
При этом связь приобретает вид
ф = (- д2 + т2). (22.10)
Чтобы построить вторично квантованную теорию поля, будем описывать
состояние системы полем ф(х>\ т), удовлетворяющим уравнению связи
<?ф = 0 = (- д2 + т2)ф. (22.11)
Потребуем также, чтобы ф удовлетворяло уравнению Шредин-гера
"й-§(r)-=//ф. (22.12)
Правая часть этого уравнения в силу уравнения (22.11) обращается
в нуль, и мы заключаем, что ф не зависит от т. При
вторичном квантовании в любом случае имеется более одной частицы, таким
образом, концепция одного собственного времени становится проблематичной.
К уравнению Клейна - Гордона (22.11) приводит действие
А= J Лф(-б2 + т2)ф, (22.13)
которое мы используем при построении фейнмановского интеграла. Последний'
позволяет находить функции Грина вторично квантованной теории.
Отметим, что исходная инвариантность относительно репараметризации
собственного времени, которая была столь важна при выборе классического
действия, отсутствует во вторично квантованной теории. Напоминают о ней
только полевые уравнения. Поскольку квантование производилось в
гамильтоновом подходе по отношению к собственному времени, то этого и
еле-
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ 279
довало ожидать. Однако естественно спросить, возможно ли провести
вторичное квантование таким образом, чтобы сохранить эту инвариантность.
Теперь мы повторим приведенные выше рассуждения для струны.
22.2. Бозонная струна
Бозонная струна, точки которой параметризуются переменной о, с течением
времени т заметает двумерную поверхность в пространстве-времени дД.
Поверхность, параметризуемая |" = = (т, сг), задается функцией дД(|).
Траектория струны такова, что соответствующая поверхность экстремальна,
т. е. действие дается выражением
А = ~ \ ^ det da*M'<VVlV, (22'1 4)
где постоянная а' имеет размерность (масса)~2. Действие инвариантно
относительно произвольной репараметризации поверхности
?"->?"+ /"(?), + (22.15)
а также относительно преобразований из группы Пуанкаре, действующих на
координаты пространства-времени дД.
Канонический импульс равен (дД = дх^/да)
Р ЬА _ (22.16)
Следствием упомянутой выше инвариантности являются связи
