Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
абелева. Хорошо известное действие Клейна - Гордона может быть записано в
виде
^4хф(-32 + т2)ф = (хК21х), (22.120)
где |х) = ,Ф|-> + ^|+> - наиболее общий функционал от х", с и с.
Очевидно, что Q2 = 0, поэтому действие инвариантно относительно
преобразования
6|X)==Q|A>. (22.121)
В компонентной записи имеем
бф = 0, б ф = (-д2 + т2)А, (22.122)
где | Л> - Л|-> + Q|-f> и симметрия тривиально реализо-
вана.
Вернемся к теории струны, где действие в случае универсального набора
имеет вид [196, 197]
4-<XlQIX> (22.123)
с калибровочным преобразованием
б I X) == QI Л>. (22.124)
Напомним, что величина |х> подчинена алгебраической связи ДГ | = 0,
откуда с учетом соотношения [ф,Щ = -N полу-
чаем связь
(N+ 1)[Л) = 0, (22.125)
калибровочно-ковариантная формулировка струны 301
которой подчинен функционал |Л>. Тогда функционал |Л> = = А[-> + Q|+>
содержит следующие функционалы от ху-(о):
Л*+1, Qfe+2 для всех k. (22.126)
Действие может быть выражено в функциональной форме
-i- (а) ?)с (а) ?)с (а) % [х^ (а), с (а), с (а)] Q% [х^ (а), с (а),
с (а)];
(22.127)
функциональная форма Q имеет вид
(22.128)
где z = e~ta. Заметим, что % и Q нечетны, нечетна также мера
2Dc (а) @с (а) = T\ji=odcn Ц"=1 dcn благодаря тому факту, что координата
с (о) имеет на одну нулевую моду больше, чем с {а). Уравнение движения
имеет вид
Q|X) = 0. (22.129)
С учетом (22.112) оно может быть записано через компоненты фД и фк+хк в
виде
/Сф + dj> + Df = 0, dty + ?>ф + 2Мф = 0. (22.130)
Преобразование, записанное в терминах компонентных полей Ак+\, Qk+2k,
имеет вид
бф = (d + D) А - 2MQ, 5ф = -КА + (d + D) Q. (22.131)
Оно, конечно, тождественно преобразованию (22.118), в котором явно
указана структура индексов.
Действие <%1Q1%> в компонентной записи принимает следующий вид:
4- (Ф, /Сф) + (Ф, аф) + (Оф, ф) + (Ф, мф). (22.132)
При выводе этого результата мы приняли во внимание вакуумные свойства
(22.98) и (22.99) и воспользовались тем, что (ф, dф) = (Dty, ф) для
произвольных фи ф.
Заметим, что преобразование [Л) = Q[Лг) не изменяет |%> и является так
называемой скрытой инвариантностью. Это автоматически приводит к
появлению "духов для духов", поскольку член, фиксирующий калибровку,
должен содержать только |%>, и, следовательно, соответствующее духовное
действие неизбежно инвариантно относительно этого преобразования. Ниже мы
обсудим этот вопрос.
302
ГЛАВА 22
В отличие от конечного и бесконечного наборов можно непосредственно
показать, что универсальный набор приводит к корректному ответу для числа
состояний на массовой поверхности.
22.8. Спектр состояний универсального набора [196]
Число степеней свободы на массовой поверхности для струны в размерности D
- 26 то же, что и для полей в функционале хг(а), 1=1, 2, ..., 24 и х_.
Это объясняется тем, что в калибровке светового конуса, где остаются
только х1(а) и координата центра масс х~, все степени свободы физические.
Следовательно, число степеней свободы для каждого уровня N есть p(N),
производящая функция которых равна
оо оо
EpWrv = II(l- *Т24 = 1 + 24х + . . . . (22.133)
п-0 п=1
Отметим, что статистическая сумма П"-1(1-*п) ° дает число степеней
свободы D-мерного функционала.
Теперь мы должны показать, что к тому же числу степеней свободы приводит
действие <%|Q|%>- Это можно продемонстрировать тремя способами:
1. Подсчитать степени свободы в классической теории ло-ренц-ковариантным
способом - задача нетривиальная уже для фотона.
2. Показать, что, выбрав калибровку, можно перейти к формализму светового
конуса.
3. Проквантовать систему, т. е. фиксировать калибровку, добавить духи и
показать, что разность бозонных и фермион-ных степеней свободы для уровня
N равна p(N).
Мы выберем третий способ. Начнем с классической теории,
содержащей компонентные поля Используя соотно-
шение (22.118), фиксируем Л|+1 так, чтобы было </>f+1 = 0. Тем самым мы
вставим в континуальный интеграл 6-функцию б(фк+1)н опустим следующее
духовое слагаемое X|+i (-КАХ+Х + + DQk+2 + dQ>kt\). При этом мы
используем для полей духов те же обозначения, что и для симметрий, из
которых они возникли. Но действие для духов в свою очередь обладает
инвариантностью, отвечающей "скрытой" симметрии | Л) = Q ] Л'). Поскольку
[Q, N] = -N, находим, что равенство iV|%> = 0 приводит к тому, что (N +
2) | Л') = 0 и, следовательно, действие содержит поля {Д^1- Q^2}- Эта
инвариантность фиксируется условием = 0, т. е. появлением в континуальном
интег-
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ ФОРМУЛИРОВКА СТРУНЫ 303
рале б-функции б(й^1) и добавочного слагаемого
Afe+11 (АЛЙ1 + dAftll1 + Z>A?Ji2). (22.134)
Это слагаемое обладает инвариантностью, отвечающей симметрии |A'> =
Q)A">, что требует введения духов для духов. Такую процедуру можно
продолжать бесконечно.
Окончательный результат содержит поля
Ak Aft-1, Afe_, ...,
A|+i, Afe+11, Afe+2 ' ,
которые появляются в действии с оператором кинетической энергии К-
Отметим, что в этом наборе имеется один и только один тензор типа Лт'"4^
