Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
в виде
\%)=^\ - ) + ф\ + )=
- 2 э"л - - - • • - В,>,...1х" <")] I - > +
{я}{т}
+ (л? • • ¦ к,.*,*., - Р ("") I + >¦
(22.102)
Так выглядят струнные функционалы, возникающие в ко-вариантной полевой
теории струны. Духовые переменные, как мы увидим, корректно описывают
дополнительные поля. Это аналогично использованию суперпространства в
суперсимметричных теориях, где оно позволяет систематически описывать
компонентные поля супермультиплета.
Заметим, что гЦ ... Ша = ^[л, ... пь]^т' Ша\ и если
a -j- b - нечетное целое число, то фа6- антикоммутирующее поле. Поскольку
мы хотим описать калибровочно-инвариантную полевую теорию струны, а не
БРСТ-инвариантную теорию, содержащую духовые поля, мы потребуем, чтобы
функционал уу был подчинен некоторой связи. Заметим, что рассмотренный
выше универсальный набор содержит поля <f>k+ik-Они будут входить и в
функционал |%>, если удовлетворяется связь
( jc (pm+Pm - ftp" + РоРо)) I X) = 0, (22.103)
или
N |Х> = 0,
где N - оператор, стоящий в уравнении (22.103). Будем считать, что это
уравнение выполнено. Заметим, что благодаря фермионной природе вакуума,
если ]х> нечетно, то компонентные поля tykk и фк+хк четны. Крайне
полезным оператором является заряд Вирасоро, который строится следующим
образом. Генераторы Вирасоро Ln в классической теории удовлетворяют
алгебре {Ln, Lm}=-i(n - m)Ln+m = -ifmnpLp. Соответствующий БРСТ-заряд
равен
оо оо
Q'= ? Р-я^-4- Z Уппг^-пР-т- (22.104)
п = - оо * п, т, Р- - 00
Конструкцию такого типа, примененную к первично квантованному
гамильтониану, можно найти в работе [200]. Приведенное выше выражение не
вполне определено до тех пор, пока в нем не произведено нормальное
упорядочение; после этого
298 ГЛАВА 22
можно найти константу нормального упорядочения. Следовательно, мы
рассмотрим выражение
оо оо
Q=: S fU^-4- S УптРР-пР-т-аРа-~ (22.105)
OO n,m,p=- OO
Заметим, что, переставляя антикоммутирующие величины при нормальном
упорядочении, мы должны добавить знак минус; например
: Pj-m :=-при п, т>1. (22.106)
Непосредственно из определения, казалось бы, легко доказать, что Q'2 = 0.
Однако корректно определенный оператор Q обладает свойством Q2 = 0 только
при условии D = 26 и при а = 1 [199].
Оператор Q можно записать разными способами, которые нам потребуются
ниже:
Q = р0/С - 2р0М -\-d + D, (22.107)
где операторы К, М и D не содержат нулевых мод, т. е. р0 и р0. Мы найдем,
что
ОО
к = и -1 + ? + 4Ж)>
п - 1
оо
м = Z "рХ
п-i (22.108)
d = Г (l" + LAtir + Т Атп%) .
z) = p'!(L_" + /m_/PmtPP + 4-P^PP'n)-
Заметим, что D = dP и они удовлетворяют соотношениям
d2 = D2 = 0, [К, d] = 0 = [К, D] = [К, М], (22.109)
[М, d] = [М, D] = 0, {d, D} - 2МК = 0. (22.110)
Из этих соотношений следует
Q2 = {d, D} - 2МК = 0. (22.111)
Рассмотрим теперь действие оператора Q на произвольный функционал х- Если
состояние |х> нечетно, то мы найдем
Qlx> = (2Aty4-(d + m)l->+(tf*4-(d + ?>)*)l + >. (22.112)
а если состояние |х> четно, то
Q | X) = (-2Мф 4- (d + D) 401 - > 4- (-ЯФ 4- (d 4- D) <j>) | 4- >,
(22.113)
калибровочно-ковариантная формулировка струны 299
где операторы К, М, d и D теперь определяются их действием на -ф", ...
"&т* -т":
WI, -"" = (1,-1 + т + ")1>",
("¦К ... - (-"'<¦ (Л(","С-'.
(ад.,...-""=ч-Л-
2" &Ч,УЧр
(Drf/.-.v ""-¦=(-о1"-
-4-
где m = 2Z"=imt-, n = rai- Эти определения отличаются от
приведенных в литературе тривиальными множителями. Отличие в знаках для
четного и нечетного состояния |%> следует из различия четности числа
перестановок, необходимых для того, чтобы операторы нулевых мод
непосредственно действовали на вакуум.
Например,
ф8 = Ф, фо^ф", dtyo = Lnty, {Оф1) = Ь_пфп,
(с1фЪ) = 1тфп + (2т + п)фп+т, (Мфа) = пф11, (22.114)
Кфп = (Ц>-\ + п)фп.
Теперь понятно, что такие операторы особенно подходят для обсуждения
уравнений движения (22.88) в случае бесконечного набора. Эти уравнения
могут быть переписаны в форме
/Сф8 + йф1 = 0, d$ + + 2Мфо = 0, К^\+Лфо = 0, (22.115)
где - п, т= 1, 2 оо}, а калибровочные преобра-
зования имеют вид
6фо = DAq, 6ф1 = -К&о, 6ф| = й?Ло. (22.116)
Теперь легко доказать инвариантность уравнений (22.115) относительно
калибровочных преобразований (22.116). Обобщение на случай универсального
набора очевидно. Общие уравнения имеют вид [196, 197]
К^а + Офаа+1 +dфaa^=¦¦0, dqaa + D^^>aX\ + Шфaa+1=:0, (22.117)
300 ГЛАВА 22
тогда как калибровочные преобразования можно представить в виде
6< = rfAS-l + ДЛ" + ' - 2MQat\, бф°а + [ = ~/СЛа + ' +
+ С?Йа±! + ?>Йа+2, (22.118)
где Q - параметры нового преобразования симметрии. Некоторые следы этой
симметрии можно найти в случае бесконечного набора, хотя благодаря
компенсирующим преобразованиям они проявляются в довольно сложной форме.
Полное использование приведенного выше формализма дает крайне простое
описание универсального набора. Прежде чем перейти к этому, вернемся на
время к точечной частице [187]. Здесь мы имеем только одну связь
Q=-^(-d2 + m2), (22.119)
так как классическая алгебра связей (относительно скобок Пуассона)
