Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
расширения бесконечного набора тем же способом, который был использован
при переходе к этому набору. По существу мы требуем, чтобы действие
операторов Ln на уравнения движения давало нулевой результат. Уравнение
для фп требует знания величины Ln%mP, что приводит к появлению нового
поля фтпр, которое в свою очередь приводит к полю фтпРд. Действуя таким
образом, мы приходим к так называемой универсальной теории, содержащей
поля
¦ k I k -f-1
tyki Yk 7
где параметр k означает число стоящих на этом месте индексов. Мы увидим,
что для данного уровня индексы полностью сим-метризованы.
В действительности при использовании некоторой техники переход от
бесконечного к универсальному набору совершается непосредственно, и ниже
мы увидим, как это происходит. Здесь мы рассматриваем некоторые из
приемов, позволяющих просто построить универсальный набор.
Можно надеяться получить конечный и бесконечный наборы из универсального
набора выбором калибровки. При этом можно найти компенсирующие
преобразования, сохраняющие выбранную калибровку. Предварительное
исследование сложных симметрий меньших наборов показывает, что это
симметрии действительно такого типа. Ниже мы увидим, что универсальный
набор ведет к правильному счету числа состояний на массовой поверхности.
Следовательно, если бы удалось восстановить меньшие наборы из
универсального выбором калибровки, это продемонстрировало бы, что меньшие
наборы также дают правильное число состояний на массовой поверхности.
22.7. Универсальный набор
Универсальный набор был построен в работе [196] с помощью метода, который
изложим в данном разделе. Он был также найден независимо в работе [197]
путем обобщения ка-либровочно-ковариантной теории работ [195, 198]1).
*) К. Itoh, Т. Kugo, N. Kunitomo, Н. Oogiri, неопубликованная работа.
Этот набор также упоминали A. Restuccia, J. Taylor (неопубликованная
работа).
КАЛИБРОВОЧНО-КОВАРИАНТНАЯ формулировка СТРУНЫ 295
Для дальнейшего полезно расширить пространство-время, введя
антикоммутирующие координаты. Расширенное пространство параметризуется
координатами х^(0), с(о), с(0), где Х'До)-обычные бозонные координаты ц =
1, 2 ... 26, а с(0), ё(а)-фермионные координаты. Потребуем, чтобы
выполнялись граничные условия
дах^ (0) = д0с (0) = с (0) = 0 (22.89)
при 0 = 0 и 0 = л. Действительно, такое 28-мерное пространство
естественно возникает при БРСТ-квантовании действия Намбу для струны
[199]'). Отвечающие духам поля с(о) и с{а) следует ввести при фиксации
двумерной репараметриза-ционной симметрии мировой поверхности струны.
Напомним читателю, что мы собираемся построить калибровочно-инвариантную
вторично квантованную полевую теорию струн не используя БРСТ-формализм.
Последний получается из нее стандартным приемом фиксации калибровки и
введением соответ-ствущих духов.
Оказалось, однако, что многие приемы, возникшие в первично квантованной
теории струны, имеют свои аналоги в калибровочно-инвариантной вторично
квантованной теории.
Для X*1 [а) имеем обычное разложение Фурье, а для с(о) и ?(0) разложения,
отвечающие выбранным граничным условиям, имеют вид
оо
с (0) = с° + 2 X сп cos па>
" "-1 (22.90)
с (0) = 2 X сп sin па.
ГС=" 1
По аналогии с полем х^ (0) введем для полей с(0), с(0) фермионные
операторы рождения и уничтожения
оо
Р (0)= л ^ 1с (а) - --т= 2 н w 5с (а) 2я я y2 п^оо
(22.91)
р(а) = _Ж(о+"2^с(а) = ^ уГге?°-
Относительно обычного скалярного произведения имеем
p(0)f = p(0), р(0)+ = р(а). (22.92)
Отметим, что в отличие от б/бх^(0) мы не добавляем множитель i для
эрмитовости, поскольку имеем дело с антикомму-
') Эти координаты использовались также в работах [187].
296
ГЛАВА 22
тирующими величинами и
-=¦&?>-• <22-93)
Следовательно,
р"+ = р_", р/ = р_", (22.94)
и, в частности,
Ро+ = Ро, Ро+ = Ро- (22.95)
Очевидно, что эти фермионные осцилляторы удовлетворяют ан-
тикоммутационным соотношениям
(Р/г, Pm} = (рпу Pm} - &п, ту
(Р., рт} = 0 = {р", рт), я, т>0, (22.96)
(Рп> Рт} = 0 = (р", Рт}.
Определим теперь вакуум по отношению к этим осцилляторам. Мы можем
принять, что
PJ> = PJ> = 0, п> 1 (22.97)
аналогично обычному случаю бозонных осцилляторов a>V Но определение
действия нулевых мод на вакуум требует большей осторожности [199]. Можно
определить вакуум |+> соотношением
Ро1 + > = 0; (22.98)
тогда, подействовав на него оператором р0, получим новый вакуум
Ро1 + >=|->; (22-99)
так как р02 = 0, то мы найдем, что р0| -> = О- Из соотношения {р0, ро}= 1
следует, что Ро| - >=|+>- Заметим, что
( + 1 +> = ( -I РоРо 1 - ) = о (22.100)
и аналогично <-|-) = 0. Однако верны соотношения
< + 1 -> = <-1РоРо1 + > = < -( + )> (22.101)
и мы принимаем, что <+|-) = 1. Будем считать вакуум |-> нечетным, а
следовательно, вакуум |+> - четным, поскольку Ро - нечетный оператор
(фермионный).
Рассмотрим наиболее общий функционал % полей х^{о), с (о), с(о). В
осцилляторном базисе он может быть записан
калибровочно-ковариантная формулировка СТРУНЫ 297
