Введение в суперсимметрию и супергравитацию - Уэст П.
Скачать (прямая ссылка):
мультиплетом супергравитации, включающим компонентные поля
(е, 1|>). (21.34)
Эти поля являются одномерными аналогами тетрады и грави-тино.
Окончательный результат можно получить с помощью
270 ГЛАВА 21
прямого применения нётеровской процедуры, обсуждавшейся выше; он имеет
вид
у ^ dxe~x {ф^ф'' - exV - Лцу- (21.35)
Действие инвариантно относительно локальных преобразований суперсимметрии
Ьф'" = ?%11> Ь%'1=(дхф11 - уфх^)ее"', 6е = еф, ^ = -^дхе,
(21.36)
а также относительно "общекоординатных" преобразований по т.
Обратимся теперь к двумерной теории полей материи со следующим свободным
действием:
^0 = 5 d% { - 1 (даЛ)2 - 1 хд% + у N2 }, (21.37)
которое инвариантно относительно майорановской суперсимметрии, т. е.
6Л = е%, 6 х = дАе, 6N = sdx• (21.38)
Поля А и N действительны, х - майорановский спинор. Муль-
типлет супергравитации есть набор полей
/гар, фаЛ. (21.39)
Преобразования глобальной суперсимметрии имеют вид
Y (ёУрФа + ёуафр), бфа = - Yp6 <5р^бае. (21.40)
Мультиплет инвариантен также относительно абелевых локальных
преобразований
бфа "Ь (9pia-
Нётеровская процедура начинается с того, что суперсимметрия становится
локальной: е->-е(|). Свободное действие теперь более не инвариантно, но
преобразуется следующим образом:
6^о= J d%{- (da8)<MY"x}. (21.41)
Мы сокращаем этот член и получаем действие, инвариантное с точностью до
членов порядка >с°, добавляя к нему слагаемое
+ 5 d% У фа дАТ%. (21.42)
ДВУМЕРНЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ
271
Это инвариант, если локальное абелево фермионное преобразование
отождествить со ставшим теперь локальным преобразованием суперсимметрии и
принять следующее соотношение между параметрами преобразований:
Ti=|e. (21.43)
Следующий этап состоит в вычислении вариации зФ\ при преобразованиях
суперсимметрии:
=^^d2l {ijvyVx (дрё) X - taYVxe Цх) +
+ 'фаУрУаУбе дрА д§А -f- фа dAyaeN}. (21.44)
Рассмотрим теперь эти четыре слагаемые одно за другим. Применяя в первом
слагаемом преобразование Фирца, получаем
- J- ^ дрЕ)%х- (21.45)
При этом мы использовали тот факт, что
%ЧаХ = ХШ = (r), (21.46)
•если % - майорановский спинор. Сокращаем это слагаемое, добавляя к
действию новый член:
= "5^1 + \ #1^ау$уа%х%- (21.47)
Третье слагаемое уничтожается после добавления члена, содержащего
вариацию репера, которая должна возникать в скалярном кинетическом члене,
а именно
{ - j 6 (ее\е^) даЛ дрЛ }, (21.48)
где еаа = цаа + х/г0". Последнее слагаемое сокращается при добавлении
некоторого члена к б N. Второе слагаемое уничтожается после добавления
членов к 8%, а также варьирования реперов в спинорном кинетическом члене.
Наконец, читатель может проварьировать М-ч и убедиться, что добавления к
действию дальнейших дополнительных слагаемых не требуется, а полная
инвариантность достигается добавлением соответствующих членов к законам
преобразования полей. Окончательное выражение для действия имеет вид (см.
работы [178, 179])
М = ^ d%e | - у еаае^а даА д^А ~ у %еаауа да% +
+ уфга<ЗЛуаХ + ^ ^aYV^eXX } • (21.49)
272
ГЛАВА 21
Такое действие обладает общекоординатной инвариантностью, локальной
лоренцевой инвариантностью, локальной суперсимметрией, а также двумя
другими симметриями, а именно вейлевской и S-суперсимметрией. Вейлевская
инвариантность действия - инвариантность относительно преобразований
Ьеаа = Аеаа, 6фа = у Лфа, 6Л = 0,
(21.50)
бх = -2~ Лх, &N = - AN
с параметром Л(|). Спинорный параметр S-суперсимметрии ?л(|), причем все
поля остаются неизменными, за исключением гравитино:
Фа^Фа + YaS- (21.51)
Тем не менее действие инвариантно в силу двумерного тождества
YpYaYp = 0- (21.52)
На самом деле действие инвариантно относительно локальной двумерной
суперконформной группы.
Полезно подсчитать степени свободы полей супергравитации. Репер еаа имеет
четыре степени свободы, но также четыре калибровочных преобразования.
Имеются одно локальное преобразование Лоренца, два общекоординатных и
одно вейлевское преобразование. В результате, выбирая калибровку, мы
можем привести репер к виду еаа = 8аа. Гравитино имеет
четыре степени свободы, но также четыре калибровочных пре-
образования, состоящие из двух преобразований Q-суперсиммет-рии и двух
преобразований S-суперсимметрии. Указанные симметрии можно использовать,
чтобы, выбрав калибровку, обратить это поле в нуль: фал = 0 (см. работу
[179]). Вопрос о замыкании алгебры этих преобразований, действующих на
поля супергравитации, представляется несколько академическим, поскольку
мы ограничиваемся нахождением локальной симметрии; в этом смысле
вспомогательные поля не являются необходимыми.
При таком выборе калибровки уравнения движения становятся уравнениями
свободных полей:
д2А = 0, д% - 0.
(21.53)
ДВУМЕРНЫЕ СУПЕРСИММЕТРИЧНЫЕ МОДЕЛИ
273
Но мы не должны забывать уравнения движения репера еаа и гравитино г|зад,
которые в этой калибровке принимают вид
- y даА + у flap (д6А)2 = 0, (21.54)
YpY6<?p^X = 0. (21.55)
Таким образом, действие является свободным, но со связями.
