Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
A = Gз Г 1 - I ) = -2 . 1010 Дж.
2 Г T1 T1 )
Ответ: A = -2 • 10i0 Дж.
4.5.9. Так как спутник движется в высоких слоях атмосферы, то высота его подъема много меньше радиуса Земли (А П R3), и полная механическая энергия спутника
E = -G 3 .
Работа силы сопротивления за один оборот спутника A = -2п%^ = -AE.
и-. =
i
2
r
r
2
или
492
Изменение энергии
Д? _ -G —МЗ + G МЗ— d G —M3AR
2 (R3 + AR) 2 R3 2 R°
где ДД — изменение радиуса орбиты.
M3 M3 M3
Учтем, что g _ G —3 и U2 _ G —-------—- , V1 _ Zg — . Решив систе-
r3 V R3 + AR V r3
му приведенных уравнений, получим
л 1 „м3AR 2nF R3 о кл /
Ди _ V, - и _ -- G— _------------- — _ 2,54 см/с.
2 1 2 R3 R3 — V g
В результате торможения скорость спутника возрастает. Ответ: Ди _ 2,54 см/с.
4.5.10. Запишем законы сохранения механической энергии и момента импульса для метеорита (для бесконечно удаленной точки от Луны и ближайшей к ней):
2 2 G—M
(1)
—Vo _ —и2 — G—Mn
2 2 —л
mv01 _ тиДЛ, (2)
где V — скорость метеорита вблизи поверхности Луны в момент времени, когда V B Дл, МЛ — масса Луны.
Решив систему уравнений (1) и (2) с учетом, что gл _ G —Л , по-
—Л
лучим Zmin _ Дл 1 + 2^л2—л d 2,45 ¦ 106 м.
Ответ: Zmin d 2,4 5 • 106 м.
4.5.11. Скорость Vi космического корабля в точке минимального удаления от поверхности Земли равна
V1 _ V0 + Ди.
Скорость V0 движения по круговой орбите можно определить из уравнения
2
— Vo _ G М—
“2“ 2—,
493
где R1 = R + A1 = 6,57 • 106 м. Отсюда находим v0 = JGM = 7,805 • юз м/с,
U1 = 7,815 • 103 м/с.
По закону сохранения момента импульса для космического корабля:
MU1R1 = mu2R2, поэтому скорость и2 в точке максимального удаления равна
vR v (R + h) „
u2 = = 1 = 7,778 км/с.
2 R2 R + ft2
О т в е т: u2 = 7,778 км/с.
4.5.12. Вторая космическая скорость — это скорость, необходимая кораблю для того, чтобы покинуть поле тяготения Земли. Эту же скорость приобретает вблизи Земли космический корабль, который на бесконечно большом расстоянии покоился, а затем стал падать на Землю под действием силы тяготения. В этом случае работа силы тяготения является мерой увеличения его кинетической энергии и мерой уменьшения потенциальной энергии:
А = Д?к = -ДЕп
2
где ДЕк = m^2 - 0, ДЕп = -G- 0. Учтем, что g0 = GmI .
2 R3 R3
Решив систему приведенных уравнений, получим
U2 = ,/2g0 R3 = 11,2 км/с.
Так как первая космическая скорость U1 = Jg0R3 , то u2 = U1J2 . Ответ: U2 = 11,2 км/с; U2 = U1,/2 .
4.5.14. Закон сохранения энергии для космического корабля: mv 2 _ G mMc = 0 2 - G r = 0.
Второй закон Ньютона для корабля массой m, движущегося вокруг Солнца:
, „mMr
mm2r = G----С ,
r2
где m = 2^ — угловая скорость этого корабля, T — период его обращения.
494
Решив систему приведенных уравнений, получим
v = Щкг = 42,3 Км/с,
где T = 365 сут.
Ответ: v = 42,3 км/с.
4.5.15. Для того чтобы покинуть пределы Солнечной системы, космический корабль массой m должен обладать скоростью Vc относительно Солнца, определяемой законом сохранения энергии:
mvC „m—С
-Sc - G= 0,
2 Rc
где Mc = 2 • 1030 кг — масса Солнца, Rc = 1,5 • 1011 м — радиус земной орбиты. Из этого выражения найдем скорость корабля относительно Солнца:
vc - I5GMC.
V rC
Так как корабль движется с Землей по орбите вокруг Солнца, то он уже обладает скоростью Vo, которую найдем, применив второй закон Ньютона:
G Mcm = ^ v = Zgm с
rC rC 0 tJ rC
При разгоне корабля по орбите вокруг Солнца по направлению движения Земли его скорость относительно Земли равна
v3 = vC - vO-
Для того чтобы корабль покинул поле тяготения Земли, ему на-
2 GM3
до сообщить вторую космическую скорость v2 = —=---, где М3,
‘ R3
Дз — масса и радиус Земли.
Кинетическая энергия, необходимая кораблю, чтобы он покинул Солнечную систему, равна
222 nv3 _ mv2 -Se 2 = 2 + 2 .
Решив систему приведенных уравнений, получим
'2 GM3 G—c _ 2 ч „
з - .I-R-3 + -R-- 1 )2 = 16,7 км/с.
г3 rC
Ответ: v3 = 16,7 км/с.
495
Ri \
\
і
ЧГу“
4.6.2. Третий закон Кеплера для первого спутника и Луны:
T2 R2 It2
T Л _ —Л ^ R _ R T 1
~2 _ “5 ^ Д1 _ ДЛ 3 — .
T2 I?3 а| T2
і T — 'VT л
R2
По условию (рис. 4.6.3) R2 _ R1 + ДД _
Рис. 4.6.3
I T і
_ Дл з + ДД, откуда находим
/T 2
/T Л
Д2 _ 7,88 • 103 м.
Узнав радиус Д2, еще раз применим третий закон Кеплера:
22
- 2
Tl = -I ^ Т2 = Тл—
T 2 R3 2 R3
T 2 r2 rI
откуда получим
—2
T2 _ ТЛ ; T2 _ 6457,21 с _ 107,62 мин.
1 —л
Ответ: R2 _ 7,88 • 10 м; T2 _ 107,62 мин.
4.6.3. Поскольку как Луна, так и спутник движутся в поле тяготения Земли (рис. 4.6.4), применим третий закон Кеплера:
Tl
(h + H + 2 R3)3 8 R 3
Отсюда h _ 2Д ^Tl J3
H — 2Д3 _ 220 км
(Д3 _ 6370 км — радиус Земли).
Ответ: h _ 220 км.
4.6.5. Скорость движения тела на круговой орбите найдем из второго закона Ньютона:
G——3 _ —у2
-2 г, ’
