Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
и,
решив данную систему уравнений, получим
2R3 r3 (L - 21 cos а)
F = 4 nGmp — + г6 - -
3 ^l4 l2 - 12 2L2(L2 - I2)„/12 + L2 - 2Llcosс
Ответ: F d 5,7 мН.
5,7 мН.
4.1.14. Сила притяжения будет равна геометрической сумме сил притяжения, создаваемых отдельными элементами сферы. Малые элементы Oi и О2 (рис. 4.1.8) вырезают из сферы конусы с вершиной в точке A, которые получают при вращении образующей BC вокруг оси S1S2. Площади элементов равны соот-
(AS1)2 Q (AS2 )2 Q (AS1)2 Qp (AS1)2 Qp
ветственно 1 и 2 , а их массы 1 и 1 , где
cos а1 cos а2 cos а1 cos а2
й — телесный угол, под которым видны оба элемента из точки A, р —
поверхностная плотность сферы (масса, приходящаяся на единицу
площади), а1 = а2, так как треугольник S1OS2 равнобедренный.
Силы притяжения, создаваемые элементами, равны
F1 = g— (A Si)2 Q р = g—QP , F2 = G
1 (AS1 )2 cos C1 cos C1 2
= G — (AS2)2 qP = g —Qp
(AS2 )2 cosa2 cos a2
где m — масса тела, и направлены в противоположные стороны. Их равнодействующая равна нулю.
C
L
484
Проводя аналогичные рассуждения для других соответствующих элементов сферы, убеждаемся, что все они попарно компенсируют друг друга. Следовательно, сила притяжения, которая действует со стороны сферы на тело, помещенное внутри нее, равна нулю, что и требовалось доказать.
4.2.3. Ускорение свободного падения у поверхности Земли
M3
go = G -3 , r3
где M3 — масса Земли, R3 — радиус Земли.
Аналогичное соотношение можно записать и для ускорения свободного падения у поверхности Луны:
?л = G m^1 ,
где МЛ, RЛ — масса и радиус Луны.
Поделив одно уравнение на другое, получим
2
Rb Мл
MR2
По условию, Ro = nRr.
M3 = кмл.
Поэтому
к
= 1,65 м/с2.
Ответ: ?Л = 1,65 м/с2.
4.2.10. Поместим тело массой m внутри Земли в произвольной точке А (рис. 4.2.1).
Мысленно разделим Землю на тонкие сферические слои толщиной Дг (Дг П R3) и рассмотрим один из них. Проведем конус с малым углом раствора через точку А. Конус вырежет из сферического слоя массы Дт- =
= pS-^r, Дт2 = рЯ2Дг, которые будут притягивать точку m силами:
F-
m Am1 = G —-—
и F.
m Am,
= G-----—2 .
где г-,Г2 — расстояния от точки А
соответственно до массы Дт- и массы Дт2.
Рис. 4.2.1
2
r
r
1
2
485
S1 S2
Учтя, что телесный угол а = — = — , получим, решив систему
r1 r2
приведенных уравнений:
Fi = 1.
F2
Из этого следует, что результирующая сила, действующая на массу m со стороны этого слоя, равна нулю. Поэтому на точку m действует только сила притяжения той массы Земли, которая находится внутри сферы радиусом r. Определим эту массу: M1 =
4 з г* 3 M3
= - пг3р, где р — плотность Земли; отсюда находим р = -.
33
Поэтому
—M —M r3 r
F = G M = G-^V = mgo jr.
r2 3 3 R
Ответ: F = mg0 — .
R3
4.2.13. Ускорение свободного падения на Солнце
: = GmC , О
R2
где Mc и Rc — масса и радиус Солнца.
Радиус Солнца Rc найдем из геометрического соотношения
Rc = D = Esina , (2)
c22
где R — расстояние от Земли до Солнца, а — угол, под которым виден диаметр Солнца с Земли.
Массу Солнца определим, применив второй закон Ньютона к движению Земли вокруг Солнца:
F = M3a, GМзМс = M3 4n^ ,
3 I2 3 т2
T 3
Mc = 4^ . (3)
gt3
Из выражений (1)—(3) получим ответ:
gc = J96 п2 f = 274 м/с2.
3
3
486
4.2.22. Из рис. 4.2.2 видно, что такие точки лежат на окружности в плоскости, перпендикулярной прямой, соединяющей эти звезды. Решим задачу для произвольной точки А этой окружности.
Рис. 4.2.2
По принципу суперпозиции g = gj + g2, где gj и g2 — ускорения свободного падения, обусловленные притяжением первой и второй звезд соответственно:
gj = G —; g2 = G “2. r1 r2
Из векторных треугольников находим:
g2 = gj + g2 - 2gjg2 cos a;
l2 = rj + r2 - 2rxr2 cos a.
Решив систему приведенных уравнений, получим о т в е т:
— i m2
g = G R + “I
' Ti Г2
22
— — — i-9 ,2 2 ..2,
2 2 2 2 -(12 - T1 - r2);
вычислив модуль g, найдем и направление g, определяемое, например, углом в:
в = arc cos -
2 gg1
4.4.2. На спутник массой mc действует сила гравитации
F = .
G—сМ3
(R3 + h) 2
, которая сообщает ему центростремительное ускорение
и
R3 + h
G
—M-
^M-L = mc .
2 с R3 + h
(R3 + h)
r-, r
12
22 n + gi +
а =
487
Для тела массой m на поверхности Земли можно записать:
G—M-,
mgO =
R 2 R3
Период и частота вращения спутника соответственно равны: T = , ш = . —
ю R3 + h
Решив систему приведенных уравнений, получим о т в е т :
T = 2 п(—з + h )
R3 JgO
4.4.7. На Землю со стороны Солнца действует сила гравитации, которая и сообщает ей центростремительное ускорение an = m3m2R3 с. Запишем второй закон Ньютона:
G—3 Mc
= m3an.
R3.C
Следовательно, масса Солнца
ю 2 — 2
Mc =---3^ = 2,2 ¦ 1030 кг = 2,2 ¦ 1027 т.
G
4.4.12. Во время движения космического корабля его центростремительное ускорение
