Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Турчина Н.В. -> "Физика в задачах для поступающих в вузы" -> 186

Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.

Турчина Н.В. Физика в задачах для поступающих в вузы — М.: Оникс, 2008. — 768 c.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка): fizvzadachahdlyapostvvuzi2008.pdf
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 252 >> Следующая


7.2.5. Запишем закон движения точки

X = A sin (m0t + а); (1)

тогда скорость точки

v = Am0 cos (m0t + а). (2)

Кинетическая и потенциальная энергии точки в любой момент времени соответственно равны:

Ek = = тюОА2 cos2 Kt + а), (3)

En - if2 = m^of! ,m2 ,m,, + а), (4)

где юО = — , к — коэффициент возвращающей силы.

0 m

519
Разделив (4) на (3), получим E

-5 = tg2 (m0t + а).

ЕК

В искомый момент времени т имеем Ek = Еп. Следовательно, tg (m0 т + а) = ±1,

откуда

m0 T1 + а = 4 + пп, где п = 0, 1, 2, ..., m0 T2 + а = —п + п'п, где п' = 1, 2, 3, ... .

С учетом данных задачи ^m0 = 2п, а = получим

2пт, + п = п + пп, T1 = — + — .

1 6 4 1 24 2

і п _ п і _ _ 5 і —

2 пт + = — + п 'п, т = — + .

2 6 4 2 24 2

Итак, ответ: T1 = — + — , где п = 0, 1, 2, ... ; T2 = — — + — ,

1 24 2 2 24 2

где п' = 1, 2, ... .

7.3.8. Сила упругости пружины F = kx. Если к пружине подвесить груз массой m, то в положении равновесия mg = kx, откуда удлинение пружины x = . Если две пружины соединить последова-



тельно, то их удлинения будут равны, а общее удлинение

x2 = 2x = . (1)

2—

С другой стороны,

x2 = m. (2)



1

Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем

2mg mg u k

—= —^ или k1 = - .

— —1 1 2

При параллельном соединении пружин общая жесткость системы k2 = 2k. Таким образом, периоды колебаний при последовательном и параллельном соединениях пружин равны соответственно

T1 = 2”Л ¦ = ^ ,

T1 /—2 „

а их отношение — = — = 2.

T2 1

Ответ: период колебаний груза уменьшится в 2 раза.

520
У

в

о

7.3.16. Направим ось X вдоль направления перемещения центра чашки (рис. 7.3.8). Пусть точка B соответствует положению чашки при недеформиро-ванной пружине. Чашка с гирями находится в покое в точке C на расстоянии Z1 = ^g от точки B, где

1 k

M — масса чашки и гирь. После добавления еще одной гири в положении равновесия чашка окажется

в точке O на расстоянии Z2 = + m^ g от точки B и бу-

дет совершать гармонические колебания около этого положения равновесия (точки O), периодически двигаясь между точками C и C1. Амплитуда колебаний

A = OC = OC1. Так как OC = Z2 - Z1 = m , то A = mI.

1 21 k k

Ответ: A = mg/k.

7.4.13. Закон движения тела, совершающего гармонические колебания:

x = A cos (m0t + ф0).

Амплитуда колебаний A = 2aZ и начальная фаза ф0 = 0, собственная частота ю0 =

Рис. 7.3.8

O0 = Jg . Следовательно,

x = 2aZ cos

Jg') ¦

В точке B (см. в условии рис. 7.4.2) координата шарика x = -aZ. Тогда

-aZ = 2aZ cos

Jg '1),

где t1 — время движения шарика от исходного положения до точки B, равное половине периода колебаний:

t1 = _ п -

1 3 Vg

Отсюда находим

T = 2U = 4 п

3 Л/g

1 c.

Ответ: T ^ 1 с.

7.4.16. В первом случае период колебаний шарика

T1 = 2п I-

?.

(1)

521
Рис. 7.4.4

Во втором случае (рис. 7.4.4) на шарик действуют: сила тяжести mg, сила натяжения нити N и сила притяжения магнита F, в результате шарик приобретает тангенциальное ускорение ат. По второму закону Ньютона

При малых колебаниях угол а мал, следовательно, sin а d а d x , и поэтому

-mg sin а - F sin а = та..

= - mg + F x. ml

Из данной формулы видно, что ускорение шарика пропорционально x и направлено в сторону, противоположную направлению оси OX, следовательно, шарик будет совершать гармонические колебания, а

mg + F = ю2. ml

Период колебаний шарика

T2 = = 2п m1 ^ . (2)

2 ю Vmg+F

Решив систему уравнений (1), (2), получим

F = mg^Tj - 1 I = 29,4 мН.

Ответ: F = 29,4 мН.

7.5.8. В положении равновесия грузов сумма сил, действующих на каждый груз, равна нулю:

mg + kx01 - T0 = 0, (1)

3mg + kx02 - T0 = 0, (2)

где x0i и x02 — удлинения пружин в положении равновесия грузов, T0 — сила натяжения нити.

Из (1) и (2) имеем:

2mg + k(x02 - x01) = 0. (3)

522
Если груз m сместить из положения равновесия вниз на величину x, то

ma = mg + k(x01 - x) - T1, (4)

3ma = T1 - 3mg - k(x02 - x), (5)

где Т1 — сила натяжения нити.

Из (4) и (5) с учетом (3) получаем

4ma = -2kx.

Тогда

I k m „ (2m

ю = /— и T = 2п — .

V2m V k

По закону сохранения энергии:

kxOi + kX>2 + 4 mvO = k (x 01 - A)2 + k (x 02 + A)2 + 3 A - mgA

2 2 2 2 2 g g ,

откуда с учетом (3) находим: A = U0 .

Ответ: A = v0Jm/(2?); T = 2nV2m/k .

7.5.9. В положении равновесия грузов:

m1g - T0 = 0, (1)

m2g + kx0 - 2T0 = 0, (2)

где x0 — удлинение пружины в положении равновесия грузов, Т) — сила натяжения нити.

Из (1) и (2) получаем

(2m1 - m2)g = kx0. (3)

Если груз m1 сместить из положения равновесия вниз на величину x, то по второму закону Ньютона

m1a = m1g - T1, (4)

m2 a = 2T1 - m2g - k ('x0 + x) , (5)

где Т1 — сила натяжения нити.

Из (4) и (5) с учетом (3) получаем

mx ¦2m1 + -2) a = -? 2 . (6)

Тогда

Ь--- и T = 2п

V

523
По закону сохранения энергии:

+

__ откуда с учетом (3) находим: vmax = A

kx° л A k( X° +1)
Предыдущая << 1 .. 180 181 182 183 184 185 < 186 > 187 188 189 190 191 192 .. 252 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed