Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
7.2.5. Запишем закон движения точки
X = A sin (m0t + а); (1)
тогда скорость точки
v = Am0 cos (m0t + а). (2)
Кинетическая и потенциальная энергии точки в любой момент времени соответственно равны:
Ek = = тюОА2 cos2 Kt + а), (3)
En - if2 = m^of! ,m2 ,m,, + а), (4)
где юО = — , к — коэффициент возвращающей силы.
0 m
519
Разделив (4) на (3), получим E
-5 = tg2 (m0t + а).
ЕК
В искомый момент времени т имеем Ek = Еп. Следовательно, tg (m0 т + а) = ±1,
откуда
m0 T1 + а = 4 + пп, где п = 0, 1, 2, ..., m0 T2 + а = —п + п'п, где п' = 1, 2, 3, ... .
С учетом данных задачи ^m0 = 2п, а = получим
2пт, + п = п + пп, T1 = — + — .
1 6 4 1 24 2
і п _ п і _ _ 5 і —
2 пт + = — + п 'п, т = — + .
2 6 4 2 24 2
Итак, ответ: T1 = — + — , где п = 0, 1, 2, ... ; T2 = — — + — ,
1 24 2 2 24 2
где п' = 1, 2, ... .
7.3.8. Сила упругости пружины F = kx. Если к пружине подвесить груз массой m, то в положении равновесия mg = kx, откуда удлинение пружины x = . Если две пружины соединить последова-
—
тельно, то их удлинения будут равны, а общее удлинение
x2 = 2x = . (1)
2—
С другой стороны,
x2 = m. (2)
—
1
Приравнивая правые части уравнений (1) и (2), получаем
2mg mg u k
—= —^ или k1 = - .
— —1 1 2
При параллельном соединении пружин общая жесткость системы k2 = 2k. Таким образом, периоды колебаний при последовательном и параллельном соединениях пружин равны соответственно
T1 = 2”Л ¦ = ^ ,
T1 /—2 „
а их отношение — = — = 2.
T2 1
Ответ: период колебаний груза уменьшится в 2 раза.
520
У
в
о
7.3.16. Направим ось X вдоль направления перемещения центра чашки (рис. 7.3.8). Пусть точка B соответствует положению чашки при недеформиро-ванной пружине. Чашка с гирями находится в покое в точке C на расстоянии Z1 = ^g от точки B, где
1 k
M — масса чашки и гирь. После добавления еще одной гири в положении равновесия чашка окажется
в точке O на расстоянии Z2 = + m^ g от точки B и бу-
дет совершать гармонические колебания около этого положения равновесия (точки O), периодически двигаясь между точками C и C1. Амплитуда колебаний
A = OC = OC1. Так как OC = Z2 - Z1 = m , то A = mI.
1 21 k k
Ответ: A = mg/k.
7.4.13. Закон движения тела, совершающего гармонические колебания:
x = A cos (m0t + ф0).
Амплитуда колебаний A = 2aZ и начальная фаза ф0 = 0, собственная частота ю0 =
Рис. 7.3.8
O0 = Jg . Следовательно,
x = 2aZ cos
Jg') ¦
В точке B (см. в условии рис. 7.4.2) координата шарика x = -aZ. Тогда
-aZ = 2aZ cos
Jg '1),
где t1 — время движения шарика от исходного положения до точки B, равное половине периода колебаний:
t1 = _ п -
1 3 Vg
Отсюда находим
T = 2U = 4 п
3 Л/g
1 c.
Ответ: T ^ 1 с.
7.4.16. В первом случае период колебаний шарика
T1 = 2п I-
?.
(1)
521
Рис. 7.4.4
Во втором случае (рис. 7.4.4) на шарик действуют: сила тяжести mg, сила натяжения нити N и сила притяжения магнита F, в результате шарик приобретает тангенциальное ускорение ат. По второму закону Ньютона
При малых колебаниях угол а мал, следовательно, sin а d а d x , и поэтому
-mg sin а - F sin а = та..
= - mg + F x. ml
Из данной формулы видно, что ускорение шарика пропорционально x и направлено в сторону, противоположную направлению оси OX, следовательно, шарик будет совершать гармонические колебания, а
mg + F = ю2. ml
Период колебаний шарика
T2 = = 2п m1 ^ . (2)
2 ю Vmg+F
Решив систему уравнений (1), (2), получим
F = mg^Tj - 1 I = 29,4 мН.
Ответ: F = 29,4 мН.
7.5.8. В положении равновесия грузов сумма сил, действующих на каждый груз, равна нулю:
mg + kx01 - T0 = 0, (1)
3mg + kx02 - T0 = 0, (2)
где x0i и x02 — удлинения пружин в положении равновесия грузов, T0 — сила натяжения нити.
Из (1) и (2) имеем:
2mg + k(x02 - x01) = 0. (3)
522
Если груз m сместить из положения равновесия вниз на величину x, то
ma = mg + k(x01 - x) - T1, (4)
3ma = T1 - 3mg - k(x02 - x), (5)
где Т1 — сила натяжения нити.
Из (4) и (5) с учетом (3) получаем
4ma = -2kx.
Тогда
I k m „ (2m
ю = /— и T = 2п — .
V2m V k
По закону сохранения энергии:
kxOi + kX>2 + 4 mvO = k (x 01 - A)2 + k (x 02 + A)2 + 3 A - mgA
2 2 2 2 2 g g ,
откуда с учетом (3) находим: A = U0 .
Ответ: A = v0Jm/(2?); T = 2nV2m/k .
7.5.9. В положении равновесия грузов:
m1g - T0 = 0, (1)
m2g + kx0 - 2T0 = 0, (2)
где x0 — удлинение пружины в положении равновесия грузов, Т) — сила натяжения нити.
Из (1) и (2) получаем
(2m1 - m2)g = kx0. (3)
Если груз m1 сместить из положения равновесия вниз на величину x, то по второму закону Ньютона
m1a = m1g - T1, (4)
m2 a = 2T1 - m2g - k ('x0 + x) , (5)
где Т1 — сила натяжения нити.
Из (4) и (5) с учетом (3) получаем
mx ¦2m1 + -2) a = -? 2 . (6)
Тогда
Ь--- и T = 2п
V
523
По закону сохранения энергии:
+
__ откуда с учетом (3) находим: vmax = A
kx° л A k( X° +1)