Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
Время, за которое шарик опустится на расстояние А, можно определить из соотношения
А = g. ^ t = Z2fe .
2 Vg
Если «смотреть» в цилиндр сверху, то шарик будет двигаться по окружности радиусом R с постоянной скоростью u0x = u0. Поэтому угловая координата шарика будет изменяться по закону
ф = rnt = ^ t = vO t.
RR
Cj. v0 /2й
За время t шарик сместится на угол ф = ^ — , совершив n =
= = -vL I2h d 2 оборота.
2п 2nR V g
Сила давления F шарика равна по модулю силе N реакции стенок трубы. Силу N можно найти из уравнения движения, записан-
u
= u
0
467
ного в проекции на нормаль к траектории (она все время направлена по радиусу трубы):
,, —-2 P —-0 K „
N =------ или F =------ = 5 H.
R R
Ответ: F = 5 H; n = 2 оборота.
3.7.35. В системе координат, связанной с эскалатором (рис. 3.7.34), скорость точки K Kколечка определим из соотношения: vT - v0 =
vC 5^4° = 0 ^ vT = v0, где
V3
fc°
(1)
Рис. 3.7.34
Для колечка потенциальная энергия -
En = mgH, где H = h + 2H — (v, — скорость эскалатора). Отсюда п -о э
получим
H =
h-o
h-T
1 - 2-э/-0 -0 - 2-э -т - 2-э
(2)
Рис. 3.7.35
а энергия всего колечка
Найдем кинетическую энергию колечка. Для этого рассмотрим два элемента колечка Дш, лежащих на одном диаметре (рис. 3.7.35). Квадраты скорости каждого элемента колечка равны:
2 2 . 2 0
vx = vT + v0 + 2 vT v0cos а,
222 v2 = vT + v0 - 2 vT v0cos а;
их суммарная кинетическая энергия
A— (-2 + -2 )A /-2 2\
= V -2------ = Mvx + v0J,
ДЕК =
E =
— f-.2 + -0 ) 2 = _________kJ:__________0 = тт>
(3)
По закону сохранения энергии En = Ek. Решив систему уравнений (1)—(3), получим
ш = = 250 рад/с.
r
Ответ: ш = 250 рад/с.
468
T
2
3.8.13. Движение санок происходит на двух разных участках (рис. 3.8.12): на участке 1-2-3 — по дуге окружности, на участке 3-4 — по прямой.
Рис. 3.8.12
На первом участке 1-2-3 санки разгоняются и, съехав с горки, приобретают скорость V0, которую найдем из закона сохранения энергии:
MgH = I MuO или u0 = j2gH,
где M — масса санок с человеком, H — высота горки.
На участке 3—4 санки движутся замедленно до полной остановки, пройдя путь і. Запишем закон сохранения энергии для санок на этом участке:
- 4 = A3 - 4(Fctop), где изменение механической энергии системы
АЕз - 4 = 0 - | Mu2 ,
а работа сторонних сил
A3 - 4(Fctop) = -Р’трі = -^2і = - ЦМІі.
Следовательно,
2 Mu^ = ^MgL
С учетом выражения для скорости u0 на участке 1-2-3 находим
H = ці. (1)
Теперь рассмотрим движение санок на участке 1-2, предполагая, что в точке 2 человек в санках испытал двукратную перегрузку.
Запишем второй закон Ньютона для человека в точке 2 в проекции на ось X:
—v = N1 - mg cos а,
R1
469
где v — скорость санок в точке 2, m — масса человека. Так как вес человека равен силе реакции N1 санок, то
N1 = 2mg.
Скорость v на участке 1 -2 найдем из закона сохранения энергии:
Mg(H - h) = 1 Mv2 ^ v = V2g(H - h).
Следовательно,
— - 2 g(H -h) = 2mg - mgr^ ., RR
где учтено, что cos a =
R -h R .
С учетом выражения (1) для H находим
h = З (2Ц - R) = 0,67 м.
О тве т: h = 0,67 м.
3.8.15. При переходе шайбы из состояния 1 в состояние 2 (рис. 3.8.13) выполняется закон сохранения энергии:
mgH + А = mgh + . (1)
В момент отрыва шайбы N = 0, поэтому второй закон Ньютона для шайбы в состоянии 2 имеет вид
mgcos a =
где (рис. 3.8.13)
Рис. 3.8.13
cos a =
h- R R .
(2)
(3)
Решив систему уравнений (1)—(3), получим
А = — (3h - R - 2h) = -0,44 Дж.
Ответ: А = -0,44 Дж.
3.8.18. По закону сохранения энергии
kx2
¦ ^migx = ,
(1)
где x — сжатие (удлинение) пружины к моменту отрыва второго бруска.
470
2
R
2
—v
2
Чтобы второй брусок сдвинулся, необходимо выполнение условия
Fynp = FTP> т е kx = ^2m2g- (2)
Решив систему уравнений (1), (2), получим
v = g
Ip2 rn 2 к
2pj + p2— I d 5,03 м/с.
Ответ: v d 5,03 м/с.
3.8.19. Запишем закон сохранения энергии при переходе системы из состояния 1 в 2 (рис. 3.8.14):
mgx + Fx + kJ2 = k (x °2+x) 2 .
(1)
і mg '
X0 + x
1
2
Рис. 3.8.14
По условию равновесия груза М в состоянии 1: mg = kx0.
Решив систему уравнений (1), (2), получим ответ: F • = — = 4 H. min 2
(2)
3.8.23. Если бруску сообщить скорость, то он из начального положения 1 (рис. 3.8.15) будет двигаться, сжимая пружину, до точки, в которой его скорость будет равна нулю (состояние 2). Затем пружина будет толкать брусок в противоположном направлении, и, по условию задачи, он должен вернуться в начальное положение (состояние 3). Так как начальная скорость минимальна, то скорость груза в состоянии 3 должна быть равна нулю. При движении бруска из состояния 1 в состояние 3 его начальная кинетическая энергия должна быть равна работе сил трения:
E
Kl + Атр1 0,
IjWWWWWl
fwwwvwwvl I l
Шт
Ji
jAA/WWVWWV] m
Рис. 3.8.15
471
1
