Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
F
упр
X
0
m
k
v
0
m
1
m
2
3
mv0
где EK1 = —— — кинетическая энергия бруска в состоянии 1,
ATp1 = ^,mg^ + і1) — работа силы трения при движении бруска из состояния 1 в состояние 3, і1 — максимальное сжатие пружины в состоянии 2. Из приведенных уравнений получим
(1)
При переходе системы из состояния 2 в состояние 3 согласно закону сохранения энергии имеем
Eo + j
пЗ’
где еП2 = — — потенциальная энергия пружины в состоянии 2, Атр2 = - ^І(і + і1) — работа силы трения при движении бруска из
kl 2
состояния 2 в состояние 3, Епз = “2“ — потенциальная энергия пружины в состоянии 3. Следовательно,
“2- - ,^і + і1) = к_2.
Из данного соотношения найдем
і1 = ti—g + /f !i-g2 + 2 .
1 к ^ к У к
к к у к Решив систему уравнений (1), (2), получим
uO =
1,4 м/с.
Ответ: u0 d 1,4 м/с.
3.8.24. Скорость тела будет максимальной в момент прохождения им положения равновесия (рис. 3.8.16). В этом положении справедливо равенство
mg = Fynp, или mg = кх, (1)
где х — растяжение пружины в этот момент.
Из (1) находим х = — d 9,8 см < А. Выбрав
к
нулевой уровень отсчета потенциальной энер-
2
472
гии на уровне пола с учетом, что x < h, закон сохранения механической энергии для системы представим в виде
mgh = mg(h - x) + + mt^llax
(2)
где vmax — максимальная скорость тела. Из соотношений (1), (2) получим
: = gJm = 1 м/с.
К моменту удара тела о пол пружина будет растянута на величину h, и закон сохранения механической энергии системы примет вид
mgh = k^ + mv!,
22
где v — скорость тела к моменту его удара о пол. При абсолютно неупругом ударе кинетическая энергия тела перейдет во внутреннюю. Следовательно,
Q = mt2 , Q = mgh - k^ = 34,5 мДж.
2
2
Ответ: vmax = 1 м/с; Q = 34,5 мДж.
3.8.25. Запишем второй закон Ньютона для каждого тела системы (рис. 3.8.17):
m1a1 = ^m1g, ma2 = p,m 1g - T, m2a2 = T - m2g.
Mg
m1g
Й
v
V
a
0
a
2
F
тр
F
T
тр
T
a
2
Рис. 3.8.17
473
Законы движения бруска, доски, груза соответственно имеют вид:
a2t2
v б = vO - aI^ v д,г = a2^ h = -Jj- •
По условию V б = V дг • Решив систему приведенных уравнений, получим
(Ц — 1 - —2)( — 2 + —) v0
h — ------------------------ — 0,33 M •
2g[Ц( — 1 + —2 + M) - —2]
К моменту, когда брусок перестанет скользить по доске, выделится количество теплоты
Q = mV - (—1 + —2 + М) v2 - m2gA.
v2 г —і (Ц—1 - —9) “I
Q = о U1 - -----------1^ 1 2----- d 21,2 Дж.
2 L 1 Ц( —1 + —2 + М) - —2J
Следовательно,
—1( Ц —1 - —2)
2 L 1 ц(—1 + —2 + М) - —2J Ответ: h = 0,33 м; Q d 21, 2 Дж.
3.9.2. Запишем законы сохранения импульса и сохранения энергии:
m^ - ^2V2 = 0, (1)
— v2 — v2
1 1 + 2 2 = E. (2)
OO V /
Решим систему уравнений (1), (2), учтя, что M = mi + m2 (по условию), и получим
Mvv. _ „ _
E = -j-2 = 12 Дж.
Ответ: E = 12 Дж.
3.9.5. Так как внешние силы на частицы не действуют, то систему из двух данных частиц считаем замкнутой, и, следовательно, импульс системы сохраняется:
P до = -Рпосле или m1v1 + m2v2 = m2v
Учтя, что m1 = m2 и ^1 B ^ (по условию), получим
V = ^v 1 + V2 = 10,/5 = 22,36 м/с.
474
Из закона сохранения энергии найдем количество теплоты, выделившееся в системе:
TO1U1 m2V2 m2v2 — ( о 2 ( Г~2 2 Л2 Л Л
Q = — + — - 2 = 2 (vi + - WvI + v2 J J = 0.
Ответ: v = 22,36 м/с; Q = 0.
3.9.6. Запишем законы сохранения импульса и энергии:
(M1V1)2 + (m2v2)2 = (M1 + m2)2u2, (1)
—,и2 —„и2 (—, + —„) u2
-2J. + -2-° = :_J—+ q. (2)
2 2 2
Решив систему уравнений (1), (2), получим ответ:
22
Л m m (V1 + V9) Л Л „ т,.
Q = -, 2 1 ) = 0,84 Дж.
2 ( — 1 + —2 )
3.9.13. Пусть длина недеформированной пружины равна I0 (рис. 3.9.15), а удлинение пружины, соответствующее положению равновесия чашки без груза, X0.
Вначале груз падает и в момент касания верхнего бруска будет иметь скорость и, которую найдем из закона сохранения энергии:
mgA = 2 mu2 ^ и = j2gH .
Поскольку соударение груза с чашкой весов абсолютно неупругое, то можно записать закон сохранения импульса:
mu = (M + m)v0,
где v0 — скорость груза и чашки сразу после взаимодействия.
За счет приобретенной кинетической энергии чашка с грузом перейдет в положение 2, в котором удлинение пружины станет равным X. Принимая за нулевой уровень отсчета потенциальной энергии тел нижний конец недеформированной пружины, закон сохранения энергии при переходе системы из положения 1 в положение 2 запишем в виде
.__ч2 . 2 2
(M +2—)U° - (M + m)gX0 + = (M +2—)- - (M + m)gx + ^ ,
где v — скорость чашки с грузом в положении 2.
475
Дополнив систему приведенных уравнений условием равновесия чашки в положении 1:
Mg = kx0,
получим
M2 g2 = (M + m) v2
2
- (M + m)gx + ,
2
или
v =
і.
У-mx2 +2 gx
Mg2 ( 2M + m) + 2 m2 gH k (M + m) (M + m )2
После преобразований найдем зависимость скорости системы от деформации пружины:
