Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
H =
(P2 -Pl)S
: 4,3 см.
Ответ: Н d 4,3 см.
6.6.28. Наливаем жидкость в сосуд до тех пор, пока он не окажется в состоянии, показанном на рисунке 6.6.8.
Условие равновесия сосуда имеет вид
(m + mB)g = Fa,
где mB = р
- SA — масса воды (S = nr2 =
= nA2 tg2 a), Fa = р • З S0Hg — сила Архимеда (S0 = пД2, H = R ctg a).
Решив систему приведенных уравнений, получим
Рис. 6.6.8
A = (R ctga)
3 —
: 24 см.
nptg a Ответ: A d 24 см.
6.7.11. Сумма силы F = Fmin и силы тяжести mg куба равна силе Архимеда Fa только в некотором его положении, смещенном от положения равновесия на x (рис. 6.7.6). До этого положения куб будет двигаться ускоренно, а после замедленно. Чтобы куб затонул, путь разгона и путь торможения должны быть равны b. Запишем закон сохранения энергии:
AE = A,
Рис. 6.7.6
515
где изменение потенциальной энергии куба
ДЕ = 0 — mgb,
а работа равна сумме работ приложенной силы F и силы Архимеда:
A = A(F) + A(Fa) = Fb — ^>Ь; здесь среднее значение силы Архимеда
Poga2(a - b) + роga3
<FA> =
2
Условие равновесия куба:
mg = p0ga2(a — b).
Выражая массу куба через плотность и объем: m = pa3, решим данную систему уравнений и получим
F = 1 (Po — p)ga3 = 15,68 Н.
Ответ: F = 15,68 H.
6.7.13. При движении цилиндра на него действуют силы: тяжести, Архимеда и вязкого трения. Поэтому цилиндр вначале «проскочит» выше положения равновесия, а затем опустится ниже и т. д. При этом амплитуда колебаний цилиндра будет уменьшаться, и через некоторый промежуток времени цилиндр займет положение равновесия; в этом случае силы тяжести и Архимеда будут равны:
mg = pB gSx или рдН = pBx,
где S = nR2 — площадь поперечного сечения цилиндра, m = рд SH — масса цилиндра.
Запишем закон сохранения энергии для цилиндра:
ДЕ = A,
где изменение механической энергии (рис. 6.7.7)
ДЕ = mg(A — x),
а работа силы Архимеда и силы вязкого трения
h - И_
H - x
Рис. 6.7.7
A = A1 + A2 + A3 .
516
Первое слагаемое соответствует работе постоянной силы Архимеда FAmax = pBgSH при подъеме цилиндра до поверхности воды:
Al = FAmax (* - H) = Pb gSH (й - H).
Второе слагаемое соответствует работе переменной силы Архи-
>т? Ч Pb gSH + PggSx меда (Fa) = —-------2—в---- при переходе границы поверхности во-
ды до положения равновесия:
A2 = (Fa) (H - x) = PвgSH 2+Р вgSx (H - x).
Третье слагаемое выражает количество теплоты: A3 = - Q. Следовательно,
mg(A - x) = рв gSH (й - H) + PggSH,+ pBgSX (H - x) - Q.
Решив систему приведенных уравнений, получим
Q = {(Pb - Рд) [2рвй - (Pb + рд)Я]} d 47,5 кДж.
2 pB
Ответ: Q d 47,5 кДж.
6.7.14. При вдвигании пробки изменится высота уровня жидкости. Минимальная работа равна работе по перемещению массы m = Pnr2Z жидкости с уровня AB на уровень CD (рис. 6.7.8):
Amin = mg(* + x).
Так как жидкость несжимаема, то
nr2Z = nR2 ¦ 2x.
Следовательно,
h
A-
_L _
B
ЕЙ
R
Рис. 6.7.8
Amin = PgZnr2I й + 2R. I = 0,83 Дж.
Ответ: Amin = 0,83 Дж.
6.8.3. Расход жидкости, т. е. объем жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени, Q = vS, где S — площадь поперечного сечения трубы. Площадь поперечного сече-
C
x
517
ния минимальна при максимально допустимой скорости потока,
По закону Бернулли давление жидкости больше в тех сечениях, где скорость потока меньше. Так как S = Q/V, то давление жидкости больше на участках трубопровода с большим поперечным сечением. Ответ: dmin = 0,89 м.
6.8.13. Скорость жидкости в узкой трубке v = *]2gh , в сосуде v = 0 (рис. 6.8.12). Давление жидкости в широком сосуде P1 = P0 + + Pgx.
На границе сосуд — трубка скачок давления Др = P1 - p2, так как работа сил давления вызывает изменение скорости от 0 до JTgh .
По закону сохранения энергии An_v = (P1 - Р2^ДЛ, где Дт =
0V2
= рЯДА — масса малого элемента воды. Следовательно, = P1 - р2 =
= pgH. Из-за постоянства скорости давление в трубке изменяется по закону (рис. 6.8.13)
Центр масс жидкости в горизонтальном колене трубки находится на расстоянии 3R от оси вращения, и ускорение а = ю2 • 3R. Мас-
2
Т. е. Q = VmaxSmin = (vmaxndmin )/4 Отсюда ^ОДИИ
P = Po - Pg(A - x).
Ответ: рис. 6.8.12, рис. 6.8.13.
6.8.24. Давление жидкости в месте изгиба трубки
Р1 = Po + PgH.
p
v
O H - h
H x
O H
H + h x
Рис. 6.8.12
Рис. 6.8.13
518
са жидкости в горизонтальном колене m = 4RSp. По второму закону Ньютона для этой массы жидкости
pS — P1S = mm2 • 3R,
где p — давление у запаянного конца трубки, S — площадь поперечного сечения трубки. Из приведенных равенств находим:
p = p0 + pgH + 12 pm2R2.
Ответ: а) P1 = p0 + pgH; б) p = p0 + pgH + 12 pm2R2.
Глава 7. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
7.1.16. Допустим, что закон движения точки имеет вид: x = A sin (mt + ф),
тогда скорость движения точки v = (x)' = Am cos mt.
Из данных уравнений можно получить x2 ,,2
+ -V— = 1. (1)
A2 A2ю2
2 n
Так как m = — , то из уравнения (1) находим ответ: v = ±^A2 - X2 = ±12,56 см/с.