Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
0 = Mv1Sin P + mvsin у, (2)
2 2 2 mv2 = Mv1 + mv2 , (3)
где m — масса каждого шара, v — скорость первого шара до удара, v1 и v2 — скорости шаров после удара.
Разделим все уравнения на массу m, возведем в квадрат уравнения (1), (2) и сложим их. В результате получим
v2 = v1 + v2 + 2v1v2cos а, (4)
j v2 = v1 + v2 . (5)
Теперь вычтем из уравнения (4) уравнение (5):
0 = 2v1v2cos а.
Так как скорости после соударения не равны нулю, то, следовательно, cos а = 0, т. е. а = 90°.
Ответ: а = 90°.
3.10.23. Запишем для первого соударения кубиков (рис. 3.10.20,
а, б) законы сохранения импульса и энергии:
[mv = Mu - mv-p (1)
mv2 = Mu2 + mv1 . (2)
Решив данную систему уравнений, найдем скорости кубиков m и M после удара соответственно:
v1 = v M-rn, (3)
1M + — w
----- 2— (4)
M + —
После первого удара до второго кубик m проходит путь S1 = 1 + I1 (рис. 3.10.21, в), кубик M — путь S2 = I1 - 1. Так как время движения кубиков между ударами одинаковое (t1 = t2), получим
«1 = »2 ^ ( 1 + ?1 ) (M-—) = ( 1 1 -Q (M+—) (5)
U1 u V (M - —) 2—v
480
Решив уравнение (5), находим Z1 = Zп +1 = 9 м.
п — 3
Ответ: Zi = 9 м.
б)
в)
тП ?
M
I. . I
1 Z
I т|-| u пм
т M ні
Рис. 3.10.20
3.10.29. Пусть и — горизонтальная составляющая скорости шайбы и тела в момент отрыва шайбы. По закону сохранения импульса
mv = (M + m)u. (1)
Когда шайба будет находиться в наивысшей точке подъема, ее скорость станет равной и (как и у тела). По закону сохранения энергии
(2)
——^ = mgh + (M + — )ц2 .
2 2
Решив систему уравнений (1), (2), получим ответ:
h = .
2 g (— + M)
3.10.31. При движении шарика т из исходной точки C до дна выемки (рис. 3.10.21, а) брусок М будет оставаться неподвижным. Скорость шарика в точке C найдем из закона сохранения энергии:
mg(R + h) = ——? , vC = J2g(R + h) .
(1)
и
«і
481
При дальнейшем движении шарика в выемке в результате взаимодействия с бруском шарик будет толкать брусок вправо. В результате этого брусок отодвинется от стенки, и система «шарик—брусок» станет замкнутой в горизонтальном направлении. В точке B вертикальная составляющая скорость шарика станет равной нулю, а горизонтальная — скорости бруска V (рис. 3.10.21, б).
В
M
б)
Рис. 3.10.21
Записав закон сохранения энергии системы и закон сохранения импульса:
mV = (M +2?га ) V + mgR, = (M + m)u,
с учетом (1) получим
m - 2 g (R + h ) = m 2 2 g( R + h) + mgR или MA = mR.
2 2( M + m)
Следовательно, A = mR = 4 см.
Ответ: A = 4 см.
3.10.32. Запишем законы сохранения импульса и энергии для соударения шаров 1 и 3 (рис. 3.10.22):
2
k
1
фштф —
Рис. 3.10.22
3
Г mv0 = muj + mu3,
2
2
+
2
где U1, u3 — скорости рассматриваемых шаров после соударения.
Из решения системы уравнений следует, что
uI = ° из = ио,
т. е. первый шар после соударения остановится.
Теперь задачу можно переформулировать: на гладкой поверхности находятся два одинаковых шара, соединенных пружиной, один из которых (шар 2) имеет скорость Vo, а второй (шар 1) покоится.
v
v
v
2
2
2
482
При дальнейшем движении шаров 1 и 2 в любой момент будут выполняться законы сохранения импульса и энергии системы «шар 1 — пружина — шар 2». Несложно заметить, что при движении системы пружина будет то сжиматься, то растягиваться. Но при максимальной и минимальной деформациях пружины скорости шаров будут одинаковы и равны скорости центра масс системы. Запишем законы сохранения для одного из таких моментов времени:
2
mv0 = 2mv, m^ = 2 Iu + ,
0 ’2 2 2
где v — скорость шаров в эти моменты. Отсюда получим:
Ax = ±v0 J2I, ^max = 1O + Ax = 1O + vO ./2Ї d 13,6 см
2 k
^min = 1O - Ax = 10 - vO^fk ^ 6,5 см.
Ответ: Imax d 13,6 см; Imin d 6,5 см.
Глава 4. ГРАВИТАЦИЯ
4.1.11. Силу притяжения F, действующую со стороны шара с полостью на маленький шарик, можно представить в виде разности двух сил притяжения: F1 — силы, создаваемой целым шаром (без полости), и F2 — силы, которую создавала бы полость, если бы она была заполнена свинцом, т. е.
F = F1 - F,, (1)
где, согласно закону всемирного тяготения,
F1 = GmM , (2)
d2
F2 = G —M' = G^m-' , (3)
2 Г d2
G — гравитационная постоянная, M' — масса свинца, который может находиться в полости, если ее им заполнить:
,W „ 4 ГI^3 M 4 Л|>3 M
M = рсв • 3ПI 2 = 4-^ ‘З 42 = IT . (4)
3 п|3
483
Подставляя в (1) выражения (2), (3) с учетом (4), получим ответ:
F = Gm Гм - м ) = G7 —M
Al
F1
Рис. 4.1.7
8 d2
4.1.13. Сила тяготения сплошного
шара F1 = GM_— , где M = 4 nR3p — L2 3
масса сплошного шара, р — плотность свинца. Сила тяготения полости, заполненной свинцом, F, = GM — , где
S2
M' = з nr3p, s — расстояние между центром полости и материальной
точкой. (рис. 4.1.7). Сила взаимодействия шара с полостью и материальной точкой:
F = Fi - F2 ^ F = ^F2 + F2 - 2F1F, cos в .
Учтем, что s2 = Z2 + L2 - 21Lcos а и Z2 = s2 + L2 - 2sLcos Р,
