Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
3.9.19. Если убрать упор, например, у груза массой M, то в момент, когда пружина полностью распрямится, он будет иметь скорость U1, которую найдем из закона сохранения энергии системы:
где X0 — начальная деформация пружины.
После этого оставшийся упор уже не будет давить на груз массой m, и система в горизонтальном направлении будет замкнутой. При этом скорость центра масс системы остается постоянной и равной начальной (в момент отрыва груза массой m от упора). Из закона сохранения импульса
При дальнейшем движении пружина будет замедлять движение груза массой M и ускорять груз массой m. Но поскольку у груза массой M к моменту отрыва второго груза от упора будет некоторая скорость, то пружина сначала продолжит растягиваться, и ее деформация будет наибольшей, когда скорости грузов станут равными. В этот момент система будет двигаться как одно целое со скоростью центра масс. Из закона сохранения энергии:
v = (-400x2 + 19,6х - 0,3)1/2.
Mvi = (M + m)v4. м
найдем скорость центра масс:
v
Mv1
M + m ‘
Mx0
1 kx2 = 1 kx1 + 1 (M + m) v,2, м ,
2 о 2 1 2 ц.м ’
476
где Х1 — максимальное удлинение пружины, получим
x1 = xO,/—+— . (
Если убрать упор у груза массой m, то, очевидно, максимальное удлинение пружины
Х2 = Х0 J--— . (2)
Из (1) и (2) находим
Ответ: в 2 раза изменится максимальное растяжение пружины.
3.10.2. Запишем закон сохранения импульса:
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 (1)
и закон сохранения энергии:
2222 — 1V1 + —2 v2 = —1u1 + —2 u2 (2)
2 + 2 = 2 + 2 . (2)
Решив систему уравнений (1), (2), получим
2—9v, + v (—і - —9)
U1 = —2^-----і—1-----2- . (3)
1 —1 + —2
По условию задачи «1 = 0, поэтому из уравнения (3) находим 2m2v2 + m1v1 - m2v1 = 0,
откуда
m = 1 - 2 ^ = 1 .
— 2 V1 3
Ответ: m1/m2 = 1/3.
3.10.3. При соударении тел выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения энергии:
Po = P +
E1 = e2 + Ei.
Импульс и энергия тела связаны соотношениями:
2 2 2 E = PO E' = P2 E' = P1
E i — - , Eo — - , Ei — -- .
1 2— 2 2— 1 2—
477
Решив систему приведенных уравнений, получим
/ _2(m-, - m2)2 Л
E1 = _2Л_1------2>_ = 0,62 Дж,
E1 = ?2 + E1 = 5,62 Дж.
Ответ: кинетическая энергия первого тела до удара E1 =
= 5,62 Дж, после удара ?1 = 0,62 Дж.
3.10.7. Закон сохранения импульса при любом соударении имеет вид
Mv0 = Mu + mv,
откуда
u = vo - Ж . (1)
По закону сохранения кинетической энергии при любом упругом соударении
Mv 0 = Mu2 + mv2 (2)
2 = 2 + 2 . (2)
Решив систему уравнений (1), (2), найдем скорость
2 Mv
m + M
После первого удара скорость второго шарика (M = m/2) равна
4mv0 4
v, =----— = - v;
2 2 m + m 3
после второго удара третий шарик (M = m/4) движется со скоростью
4 mv2 4 / 4 Л2
v, = ------2 = _ v9 = I - ) v,
3 2m + m 3 2 v 3/
а после третьего удара скорость четвертого шарика (M = m/8)
4mv, 4 / 4Л3
v4 = ------— = - v3 = I - J v.
4 2m + m 3 3 v 3/
После аналогичных рассуждений находим, что скорость восьмого шарика после седьмого удара равна
' 4 Л 7
v8 = V3J v d 9,989 м/с.
Ответ: v8 d 9,989 м/с.
478
3.10.8. Рассмотрим абсолютно упругое центральное соударение двух тел массами и ^2, движущихся со скоростями U1 и 1^2 (рис. 3.10.18). Запишем законы сохранения импульса и энергии соответственно:
^1^1 + ^2^2 = ^1^1 + ^2^1, (1)
V.
т!
-т-
Рис. 3.10.18
2
+
2
2
+
2
(2)
U1 т2
Рис. 3.10.19
где U1, U2 — скорости тел после соударения.
Перепишем уравнения (1) и (2) в виде
^1(61 - «1) = ^202 - V2), (3)
m1(u1 - «1)(U1 + «1) = m2(«1 - U2)(«2 + ^2)- (4)
Скорости тел после соударения будут направлены вдоль той же прямой, что и до него. Поэтому из (3), (4) имеем
U1 + «1 = U2 + «2‘ ()
Решая систему уравнений (1)—(5), находим скорости тел после
соударения:
(— j - —2) U1 + 2 —2 ^2
, «2 =
(—2 - —1)U2 + 2—1U1
(6)
—1 —2 —1 —2
Воспользуемся формулами (6) для решения задачи.
Поскольку скорость шарика массой m2 больше скорости шарика массой m1, то после первого соударения скорости шариков будут равны:
U1 = (—1 - —2) U1 + 2—2 U 2 = 13,75 м/с,
( — 2 - —1)U2 + 2 —1 U1
= 8,75 м/с
—1 —2
и направлены в одну сторону (рис. 3.10.19).
При следующем соударении (см. рис. 3.10.18) скорости шариков
, ( —1 - —2) ^1 + 2 —2 ^2
= 10 м/с,
(— 2 - — 1) ^2 + 2 —1^1
= 15 м/с.
2 —1 + —2
Как видим, после второго соударения скорости шариков стали такими же, как до первого. Легко понять, что при нечетных номерах столкновений скорости шариков будут U1, U2, а при четных u1 , u2 .
Ответ: U1 = 10 м/с; и2 = 15 м/с.
m
2
V
1
U
2
2
2
2
2
—U
—U
— л U
mu
1
1
2
Un =
2
1
— + —
1
2
Uo =
479
3.10.9. Пусть после удара шары 1 и 2 разлетаются под углами у и P к оси ОХ, причем у + P = а.
Запишем законы сохранения импульса (в проекциях на оси OX и OY) и энергии:
mv = Mv1Cos P + mv2cos у, (1)
