Физика в задачах для поступающих в вузы - Турчина Н.В.
ISBN 978-5-94666-452-3
Скачать (прямая ссылка):
a„ = 4T2 R (
где R — расстояние от корабля до центра Земли.
На космонавта действуют силы: F1 — сила притяжения космо-
( —M3)
навта Землей ^F1 = G ^2 4 , F2 — сила притяжения космонавта Луной ГF2 = G ——Мд—-, где R3 — радиус Земли4) , N — сила, с
4 (60R3 - R)2 '
которой корабль действует на космонавта.
Если за положительное направление выбрать направление от Луны к Земле, то с учетом выражения (1) можно записать второй закон Ньютона:
„—М3 _ —Мд 4 п2
G------3 - G-д— + N = — Rm.
R2 (60R3 - R)2 T2
488
Из условия, что силы притяжения космонавта Землей и Луной равны друг другу, получим:
G----3 = G-Л— ; R2 = (60R3 - R)2 —3 ;
R2 (60Дз - Д)2 3 — Л
2R2 - 243R3R + 7290 = 0;
= 243Дз ±,/59049R3 - 58320Д2 = (24з ± 2?, r1,2 ------------------------------------4- -4-R3;
R1 = 67,5R3; R2 = 54R3.
Первый корень R1 = 67,5R3 не удовлетворяет условию, так как данное расстояние должно быть меньше 6OR3, т. е. космический корабль находится на расстоянии R = 54R3 от центра Земли, следовательно,
N = 4^ Rm = 0,17 H.
T2
Эта сила сообщает телу центростремительное ускорение и направлена к Земле. Тогда вес космонавта, т. е. сила, с которой он давит на стенку корабля, равен 0,17 H и направлен по прямой, соединяющей центры Земли и Луны, в сторону Луны. Для этого реактивные двигатели корабля должны работать, выбрасывая газы в направлении от Земли к Луне.
Ответ: N = 0,17 H.
4.4.14. Масса Солнца Mc много больше массы Земли М3, поэтому можно считать, что /'
Солнце неподвижно, а Земля движется вокруг ' кз
Солнца по окружности радиусом r, равным \ расстоянию между Землей и Солнцем (рис. 4.4.1). \
На Землю действует сила гравитационного МСМ3
притяжения F = = G------2— , которая создает ей рис 441
4п2
центростремительное ускорение ап с = ----r, где Т — период обра-
T2
щения Земли. По второму закону Ньютона F = тац с. Из приведенных соотношений выразим период обращения Земли (земной год):
489
^ і V Если массы взаимодействующих космических
„ / F F ''T объектов соизмеримы, то их следует рассматривать
< I как вращающиеся вокруг их общего центра масс.
О t 3 Так как, по условию, массы равны (Мс = M3), то
^_центр масс системы находится посередине расстоя-
Рис. 4.4.2 ния между ними (рис. 4.4.2). В этом случае радиус
обращения Земли T1 = 2 , сила гравитационного притяжения F1 =
^mC 4п2
= G —С , а ее центростремительное ускорение а„ с 1 = T1, где T1 —
r2 T12
период обращения. По второму закону Ньютона F1 = Мсацс1. Из приведенных соотношений выразим период
1^" ‘J2GMc
(2)
T 1
Разделив (1) на (2), получим — = — = 0,7.
T 72
Ответ: период обращения T Земли уменьшится в =
= 1,4 раза.
4.4.15. Пусть m-p m2, R1, R2 — массы звезд и R1 R2 расстояния от их общего центра масс. Тогда
можем записать: M1R1 = m2R2 (рис. 4.4.3).
Ш2 Расстояние между звездами х = R1 + R2. Из при-
Рис 4 4 3 ^ 2 x
веденных соотношений выразим R1 = --------------.
1 mi + m2
По условию задачи m1 + m2 = 2Мс, где Мс — масса Солнца,
m2 x
поэтому радиус обращения первой звезды R1 = 2 .
2 mC
Для первой звезды по второму закону Ньютона F = ma, где
m1m2
F = G —1—2 — сила взаимного гравитационного притяжения,
x2
4 п2
a = — R1 — ее центростремительное ускорение. Из данных соотно-T2 1
шений выразим
GT2 M
X3 =
2п2
490
По условию задачи период обращения звезды Т = 2Т3, где Т3 — период обращения Земли вокруг Солнца. Следовательно,
(1)
Сила гравитационного притяжения между Землей и Солнцем F1= —3 , где R — расстояние между Солнцем и Землей, М3 —
4 п2
масса Земли. Центростремительное ускорение Земли a1 = R.
T2 T 3
Для Земли по второму закону Ньютона F1 = M3a1. Из приведенных соотношений выразим массу Солнца:
23
Мс = 4nI- . (2)
Подставив (2) в (1), после преобразований получим x = 2R = = 3 ¦ 108 км.
Ответ: x = 3 ¦ 108 км.
4.5.5. Запишем закон сохранения энергии:
~Т)2
Vl + Епо = Enft,
2
где EnO — потенциальная энергия ракеты на поверхности Земли:
—3 —
EnO = ~G —-?— , а Enh — потенциальная энергия ракеты на высоте
Rr
3
максимального подъема h:
M3 —
Enh = -g
R3 + h
2
Учтем, что GM3 = go R3 , и, решив систему приведенных уравнений, получим о т в е т:
h =------0 3 = 2500 км.
2
2gOR3 - vO
2 GT2 M
3 _
x =
2
п
3
491
4.5.8. Работа по переводу спутника с одной орбиты на другую равна разности механических энергий при движении спутника по этим орбитам:
A = (T2 + U2) - (Ti + Ui), (1)
где Ti, T2 — кинетические, а Ui, U2 — потенциальные энергии спутника на начальной и конечной орбитах соответственно.
Так как
T = mv2 и = -g
2 r
равенство (1) можно записать в виде
A = ^ - G mM3 ) - ^ - GmM ) , (2)
где M3 — масса Земли; ^, ^ — скорости движения спутника на первой и второй круговых орбитах:
IGM3 _ /GM3
— , v2 = J —— . (3)
Подставляя (3) в выражение (2), получим
A = I G mMз - G mMз) - (G mM3 - G^Me
