Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Для нахождения угла, на который нужно повернуть пространство предметов вокруг ребра двугранного угла, чтобы получить пространство изображений, обратимся к рис. 47; векторы А' и А"' отложены от точки О, лежащей на оси вращения р. Угол поворота « есть угол между проекциями на плоскость, перпендикулярную вектору р.
104
Глава Ш. Плоское зеркало и система плоских зеркал
• Введем два вспомогательных вектора В' и В", определив их уравнениями:
В' = [А'р] и В"' = [А"'р];
очевидно, что эти векторы направлены но нормалям к плоскостям, провз-денным через пары векторов: р и А , р и Aw; их величины одинаковы и равны sin о, где <р угол между вектором р и каждым из векторов А' и А'". Умножив векториально обе часта уравнения (41,6) на р, получим:
[А"' р] — [А' р] cos 2а -+- sin 2 а (р [А' р)]-В'" = В' cos 2 у • I - sin 2я [рВ'|.
Снова умножим это уравнение скаларно на В'; это дает:
В'В"'=-В'8 cos 2а, или
cos (,) sin5 <р — sin2 о cos 2%, Таким образом:
cos м = cos 2х;
угол поворота равен удвоенному углу между отражающими плоскостями, т. е.
ы — 2зс,
а уравнение (41,6) можно напн~ сать так;
А"1 ~ A' cos !¦> I (1 — cos м )р(рА') * sin о) [А'р].
(41,6*)
В частном случае, когда отражающие плоскости образуют двугранный прямой угол, как на рис. 43, м--180°, и формула (41,6*) дает:
А'"— — А' -ь 2р (рА');
если ось у-ов прямоугольной системы координат параллельна ребру прямого двугранного угла, то р— j, и
в согласии с расположением осей пространства изображений на рис. 43.
Если угол а~45°, как на рис. 44, и ось z-ов параллельна ребру двугранного угла, то р = к, и
* j k
А"' = к4/ - а; а • А‘
0 0 1
где определитель с векторами i, j, к в первой строке согласно правилам векторной алгебры представляет векторное произведение [А'р]; вычисляя определитель, находим:
Аг'--Д/1н-Л/]-ьЛ/к.
//. Применение в-'кторных уриинений л- случаю двух зеркал 105
Рассмотрение расположения осей на рис. 44 подтверждает этот результат; деЗствительно, оси z-ов в обоих пространствах одинаково расположены, ось лг'-ов пространства изображений параллельна оса у-ов пространства предметов и од инаково направлена, а ось у'-on прямо противоположна оси х-ов.
Формулы (41, 6) и {II, 6*) в весьма краткой и сжатой форме заменяют три уравнения, имеющие дивольно сложны и вид и служащие для нахождения направления луча, отраженного последовательно от двух зеркал, если известны направление падающего луча и направление ребра двугранного угла. Если назвать косинусы направляющих углов падающего луча с осями координат 1и т} и щ, а такие же косинусы ребра двугранного угла л, и. и v, то
A' А/ i -I- AJI f-А ' к /, i-1- тл j i- п, к
и
р - u.j -i- vk;
косинусы углов отраженного луча в той же системе обозначим /2, /п, и п2, т. е.
А" — L i -I- тг j I п., к.
Подставляя все эти выражения векторов А'", А' и р в уравнение (41,6), производим псе действия по правилам векторной алгебры и приходим к системе трех уравнений, из которых первое имеет вид:
— I; { jos '¦> 'I- а2 — V- cos м) -ч- mt ().;«¦ — Ум cos ы — v sin м) i -! - J7-, ().v-------------7чV cos С.) -+- !«• sin (’>);
остальные Два уравнения можно получить круговой подстановкой букв: /., ти п., 1, (л, v, L, п.,.
Тригонометрический вывод этих формул гораздо сложнее, чем изложенный вывод векторной алгебры, и во всяком случае занимает гораздо больше места.
Глава четвертая
ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПЛОСКОСТЬ И СИСТЕМЫ ПЛОСКОСТЕЙ
§ 42. Преломление лучей через плоскость
Две среды с показателями преломление пип' разделены преломляющей плоскостью ОМ (рис. 48); из светящейся точки S, лежащей-на расстоянии y(=OS) от плоскоjth, падает луч SM под углом ц продолжение преломленного луча MN, образующего с нормалью в точке падения М угол пересекает перпендикуляр SO в точке S' на расстоянии у' от плоскости. Найдем зависимость между у и у'. Закон преломления дает:
с различным расстоянием z пересекают нормаль O-S и различных точках ее.
Из § 4 мы знаем, что в этом случае элементарный бесконечно тонкий пучок лучей обладает астигматизмом; входящие в состав пучка лучи не пересекаются в одной точке, но проходят через два элемента прямых линий; в этом случае иногда говорят об астигматическом изображении точки бесконечно тонким пучком в виде двух бесконечно малых отрезков прямых, хотя в сущности изображения точки в точном смысле слова» не существует.
п sin г = п' sin V.
Из треугольников SMO и S’MO находим:
sin/=-r= - и sin i
Vr*1-1 уЪ
2
и sin i' —
Z
(42,1)
5
s'
У
где z — расстояние ОМ. Исключая из этих уравнений углы i и i't определяем отрезок
Из этого выражения видно, что у' зависит от отрезка z и, следовательно, пучок гомоцентрических лучей, вышедших из точки S и определяемых отрезком у, после преломлечия перестает быть гомоцентрическим, так как лучи-
Рис. 48.
§42. Преломление лучей через плоскость
107
Найдем положения обе :х астигматических линий на оси элементарного пучка, преломленного плоскостью. Условимся называть плоскость, проходящую через нормаль к зеркалу в точке преломления и ось пучка SM, меридиональной плоскостью элементарного пучка, а соответствующее сечение его — меридиональным сечением; плоскость, проходящую через ось пучка и перпендикулярную меридиональной плоскости, а следонательно перпендикулярную плоскости рис. 48, будем называть экваториальной или сагиттальной плоскостью пучка.
