Теория оптических приборов - Тудоровский А.И.
Скачать (прямая ссылка):
§ 47. Применение векторных уравнений к случаю двух зеркал 101
весьма удаленного предмзта М; одно непосредственно через прозрачную часть зеркала Р1г другое — при помощи двух зеркал Р.л и Рг. Если зеркало Рг повернуто на угол а и занимает положение /V, то в поле зрения трубы будет видно изображение предмета, лежащего на линии ON под углом 2а к линии ОМ. Поворачивая зеркало Р2, можно совместить изображения обоих предметов М и N; отсчет по лимбу определяет угол поворота, а следовательно, и угол между визируемыми направлениями.
Самое важное свойство прибора — это возможность применения его без штатива на палубе корабля, на лодке во время качки и т. п.
Если мы имеем систему плоских зеркал с последовательным отражением лучей, то изображения, даваемые такой системой, могут быть или симметричными („зеркальными"), или конгруентньши по от ошенпю к изображаемым предметам в зависимости от чи ла отражений: нечетное число отражений дает всегда изображение „зеркальное", не конгруент-ное; четное число отражений дает пространство изображений, которое кокгурентно с пространством предметов и которое может быть получено из этого последнего п средством посчедзвательных поворотов нокруг линии пересечения каждой пары двух последовательно отражающих зеркал.
§41. Применение векторных уравнений к случаю двух зеркал
Геометрическое рассмотрение вопроса об изображении, даваемом системою из двух зеркал, может быть дополнено или заменено решением той же задачи при помощи уравнений (12,1) и (12,3), дающих закон отражения в векторной форме. На рис. 46 повторено построение
102
Глава III. Плоское зеркало и система плоских зеркал
хода луча, отраженного системою из двух зеркал, как на рис. 42, но без добавочных построений. Как и раньше, векторы А', А" и А" определяют направление лучей падающего и двух отраженных; векторы п' и п" направлены по нормалям к отражающим плоскостям, образующим двугранный угол х. В общем случае векторы А', А" и А'" могут быть расположены в различных плоскостях, т. е. эти векторы могут быть не компланарными.
Уравнения 02,3) и (12,1) дают в данном случае следующие соотношения:
Умножим первое из уравнений (41,2) скаларно на п* а второе на п'; это дает:
Оэразуем новый единичный вектор р, определяемый уравнением:
Очевидно, этот вектор направлен вдоль ребра двугранного угла Р в сторону от плоскости рисунка к'читателю. Предыдущие уравнения можно представить с помощью этого вектора р в такой форме:
В конце § 38 было показано, что векторные уравнения, выражающие законы отражения, могут служить для определения положения радиусов-векторов в пространствах предметов и изображений; положим, что в данном случае векторы А' и А"' суть радиусы-векторы, начала которых находятся в какой-нибудь точке на ребре Р двугранного угла между зеркалами; тогда из уравнения (41,4), показывающего, что векторы А' и А'" образуют одинаковые углы с ребром двугранного ^гла, вытекает, что пространство изображений может быть получено из пространства предметов поворотом этого последнего вокруг ребра Р на некоторый угол, как это было доказано в предыдущем параграфе геометрическим рассмотрением.
(41,1)
(41,2)
n"[AV] —n"[AV], n'[AV']==ii'[A'V].
По известному свойству двойных произведений этого вида их можно преобразовать таким образом:
А'|п"п'] —А"[п"п'],
A"[n"n'] = A'"[nV].
р sin а = [п*п'].
(41,3)
А'р —А''р —А""р.
(41,4)
§ 41. Примененне векторных уравнений к случаю двух зеркал
103
Умножим векториально на п" первое из уравнений (41,2) и на п' второе из них:
[п" [А' и’]] = [и" [А" и']],
[n'[AVj] = [n'[A"n*j].
Раскрыв двойные векторные произведения по обычной формуле и сложив эти уравнения, получим:
A' (n' n") — n' (A' n") — n"(AV) = А"(п' п") — п' (А'п*') — п"( А" п').
Исключив из этого уравнения скаларные произведения А" и/ и А'п при помощи уравнений (41,1), получим:
А' (и' и") — n' (А' и") -I- и" (А' п') = А" (и' и") -+- и' (А"' и") — п"(А"' п1),
или:
А' (и' п") - ь [А' [и" и']] = А"' (п' и") - [А'" [п" п ]].
Приняв во внимание, что
п'п// = — cos а,
и вводя вектор р по определению (41,3), приходим к уравнению:
A^cosa-bfA^p] sin ос = A' cos ос— [A'p]sina. (41,5)
Это уравнение уже не содержит нормалей п и п"; положение вектора отраженного луча или радиуса-вектора точ;<и пространства изображений не зависит от положения зеркал, если положение ребра двугранного угла, т. е. вектора р не изменяется; этот вывод был получен уже в предыдущей параграфе.
Решим уравнение (41,5) относительно вектора. А"'; для этого умножим это уравнение векториально на р и раскроем двойные векторные произведения; это дает:
— [А"'р] cos я A " sin ос — psin % (рА"') = — [А'р] cos а —
— A'sin а I- psin а (рА').
Умножим это уравнение на sin у.) далее умножим уравнение (41,5) на cos а и сложим найденные уравнения; после приведения получим:
А'" — р sin" х (рА") — A' (cos'1 а — sin2 а) i- р sin2 х (рА') —
— 2 si:i х cos а [А' р].
Исключая (рА'") при помощи уравнения (41, 4), находим решение для вектора А1":
X!4----- A cos2* I (1 — соз2а)р(рА') — sin 2х [А'р]. (41,6)
