Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
два члена:
!г + (Роо +/,o)^('?j = 0, которые можно переписать с помощью (86.3) и
(86.4) в виде
Ж + (Роо + Ро)55 = 0, (86.6)
где dujdt- ускорение жидкости, параллельное оси х. Если мы вспомним, как
выглядит по предположению вклад в импульс, связанный с работой
механических сил, таких, как давление (§ 35), и учтем также то, что в
используемых координатах скорость жидкости в рассматриваемой точке равна
нулю, то сразу становится очевидным, что полученный выше результат
является простым следствием обычного соотношения между силой и скоростью
изменения импульса. Подобные же уравнения можно, конечно, написать и для
р = 2 и 3.
1Я*
228
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
Для случая ц=4 при подстановке (86.5) в (86.1) остаются только следующие
члены:
где бо0 - собственный бесконечно малый объем жидкости, получаем уравнение
(РооЮ +PoJt (Ч) = °> (86-8)
которое означает, что в собственных координатах скорость изменения
энергии элементарного объема жидкости может быть определена, как мы и
ожидали, по скорости, с которой совершается работа против внешнего
давления.
Таким образом, в собственных координатах уравнения релятивистской
механики для идеальной жидкости приведут к выражениям, которым можно дать
простую физическую интерпретацию в терминах измеряемых величин. Более
того, если локальный наблюдатель находится в жидкости в состоянии покоя и
изучает достаточно малый ее элемент такой, что гравитационной кривизной
можно пренебречь, то найденные им законы механики совпадут с теми,
которые мы получаем из законов сохранения энергии - импульса. Используя,
далее, естественные координаты, в которых жидкость уже не покоится в
выбранной точке, легко получить результаты, находящиеся в согласии с
более сложными выражениями для энергии, импульса и тензора натяжений
движущейся жидкости, полученными в специальной теории относительности
(глава III). Однако при использовании более общих координат физический
смысл уравнений механики оказывается менее прозрачным, в чем мы не раз
убедимся впоследствии.
Итак, как было показано выше, для локального наблюдателя, покоящегося в
жидкости и исследующего элемент объема окружающей среды настолько малый,
что гравитационной кривизной в нем можно пренебречь, механические
свойства жидкости совпадут с теми, которые отвечают обычным законам
сохранения энергии и импульса. Более того, следует подчеркнуть, что в
силу принципа эквивалентности мы должны ожидать таких же заключений для
локального наблюдателя, который измеряет электро-
Согласно (86.3) и (86.4) их можно переписать в виде
Умножая последнее уравнение на величину
6ti0=6x б у б г,
(86.7)
§ 86. МЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
229
магнитные и термодинамические свойства малого элемента жидкости. Однако
не надо забывать, что в общей теории относительности собственные
координаты приводят к простым соотношениям лишь в малой окрестности
точки, в которой они введены. Не следует впадать в заблуждение, что закон
сохранения энергии- импульса в форме, приданной ему специальной теорией
относительности, должен быть справедлив и в общей теории относительности
в области конечных размеров.
Это можно проиллюстрировать с помощью полученного выше соотношения
(86.8), связывающего скорость изменения энергии, измеряемую локальным
наблюдателем в малом элементе окружающей его жидкости, со скоростью, с
которой производится работа над окружающей средой. Этот результат,
найденный для отдельного элемента, согласуется с тем, что мы могли бы
получить, используя обычные законы сохранения и передачи энергии. Надо
отметить, однако, что это соотношение, очевидно, справедливо для каждого
из элементарных объемов, на которые можно разделить полный объем,
занимаемый жидкостью, при условии конечности размеров системы. В
дальнейшем мы убедимся, что, если давление по всему объему положительно,
это приводит к тому, что возможны состояния изолированных систем, в
которых собственная энергия (рообдо) каждого элемента объема жидкости
уменьшается, когда система расширяется, и увеличивается, когда система
сжимается.
Тот факт, что полная сумма собственных энергий элементов объема жидкости,
составляющих изолированную систему, не обязательно постоянна, кажется на
первый взгляд весьма странным. В ньютоновой теории тяготения нам пришлось
бы вводить в этом случае потенциальную энергию гравитационного поля,
чтобы обеспечить справедливость закона сохранения энергии. В следующих
двух параграфах мы увидим, как надо учитывать аналогичным образом
потенциальную гравитационную энергию и импульс в общей теории
относительности.
Последний результат - несохранение полной суммы собственных энергий
элементарных объемов жидкости - играет важную роль для релятивистской
термодинамики. Ниже мы увидим (§ 131), что это снимает ограничение на
возможность возрастания энтропии изолированной системы, которое налагает
в классической термодинамике обычный закон сохранения энергии.
В заключение особо отметим, что согласно (86.8) идеальная жидкость была
