Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
*) См. § 37. Напомним, что мы положили cl= 1 в согласии с выбором единиц,
сделка иным в § 81.
§ 85. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА 225
Идеальную жидкость мы определим как механическую среду, которая не
сжимается под действием поперечных сил. Тогда единственной отличной от
нуля компонентой тензора натяжений, определяемой локальным наблюдателем,
будет та, что соответствует собственному гидростатическому давлению ро.
Таким образом, тензор энергии - импульса будет задаваться в собственных
координатах следующим простым набором компонент:
То1 = Tf = Tf = р0, То44 = р00, - 0 (а =? р). (85.3)
Подставляя эти величины в общее выражение для тензора энергии- импульса
(85.2), найдем
дх'0 Ро + дх2 дх2 Ро + дх* дх* Ро + дх* дх40 Ро°' (85'4)
где (хо, Хо, х\, хо) - собственные координаты рассматриваемой точки, а
(х1, х2, х*, х4) - интересующие нас координаты.
Это выражение можно упростить. Во-первых, свяжем компоненты
контравариантного метрического тензора, соответствующие этим двум
системам координат:
дх^ дхv "й
s" = Sf
Подставив сюда затем обычные простые значения компонент метрического
тензора в собственных координатах, получим
nv_ _д^дх^ _дх^_дх^ , дх^дх^
^ дхд дхд дх% дх^ дх\ дх$ дх^ дхд
Во-вторых, мы можем написать для макроскопической скорости жидкости в
выбранных координатах уравнение
dxn d*11 dxg gxv- dXg gxv- djcjj qxV dx4
~ds~~ ~dxl~ds ~d$~ds
которое, если учесть, что скорость не имеет пространственных компонент и
имеет равную единице временную компоненту, сводится к равенству
dx11 дх^ /о-с к
ds ~ дх4' (8й,6)
Подставляя (85.5) и (85.6) в (85.4), получаем тензор энергии -
импульса идеальной жидкости в очень полезном и общем виде:
= (Роо + Ро) ж ~ ё^Ро- (85.7)
Здесь роо и ро - собственная макроскопическая плотность и дав-
р, Толмен
дхп dxv , дх** дхv , дх^ dxv , дх11 дхv
226
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
ление жидкости, а величины dx^Jds - компоненты макроскопической скорости
жидкости в используемой системе координат.
Так как поле излучения можно рассматривать как идеальную жидкость,
характеризуемую плотностью и давлением с простым соотношением между ними
(§ 65):
то для них также можно использовать выражение (85.7), с учетом (85.8), в
качестве тензора энергии - импульса этого излучения; dx^jds при этом
следует рассматривать как скорость наблюдателя относительно используемой
системы координат, который не обнаруживает в среднем никакого потока
энергии (смысл этого условия будет разъяснен ниже, в § 109).
Выражение для тензора энергии - импульса идеальной жидкости (85.7)
окажется чрезвычайно полезным для наших дальнейших выводов. Для более
сложных механических сред, в которых могут возникать поперечные
натяжения, и для жидкостей, в которых существуют тепловые потоки,
полученное выражение неприменимо. Кроме того, при наличии
электромагнитных полей, более сложных, нежели изотропное поле излучения,
мы должны будем использовать более общее выражение для тензора энергии-
импульса, которое будет получено в следующей главе. Тем не менее с
помощью моделей, имеющих свойства идеальной жидкости, может быть
исследовано множество важных проблем.
Чтобы понять физический смысл фундаментальных уравнений механики,
обсужденных в § 84, применим их к случаю идеальной жидкости,
воспользовавшись только что полученным выражением для тензора энергии -
импульса. Из соображений простоты, для того чтобы глубже проникнуть в
физическую сущность результатов, будем выражать их в собственных
координатах рассматриваемой точки.
Очевидно, что в собственных координатах фундаментальные уравнения
механики (84.4) примут вид
из-за равенства нулю символов Кристоффеля. Далее, в собственных
координатах компоненты метрического тензора задаются их галилеевыми
значениями, и их первые производные исчезают в выбранной точке, так что
мы можем записать:
Роо-Зро,
(85.8)
§ 86. Механика идеальной жидкости
(86.2)
§ 86. МЕХАНИКА ИДЕАЛЬНОЙ ЖИДКОСТИ
227
Кроме того пространственные и временная компоненты скорости жидкости в
интересующей нас точке имеют значения
dx dy dz л dt i /ос о\
Ts = Ts=Ts = 0' 51= L <86'3)
И наконец, так как из общей формулы для интервала следует соотношение
1 _ dxdx n dxdy . dt dt
ds ds (r)la ds ds "' ' ds ds'
то, продифференцировав обе его части, находим, что в выбранной точке
должно выполняться условие
д
дха
¦(|) = 0, (86.4)
поскольку все члены, кроме последнего, после дифференцирования и
последующей подстановки (86.2) и (86.3) обращаются в нуль. Таким образом,
в собственных координатах выбранной точки производные временной
компоненты скорости исчезают, хотя производные пространственных
компонент, вообще говоря, могут отличаться от нуля даже в этой точке.
Предыдущие уравнения и выражение (85.7) для тензора энергии - импульса
идеальной жидкости
= (Роо + Ро) РЧРо (86-5>
- это все, что необходимо нам для дальнейшего исследования.
Положив в (86.1) ц=1 и использовав (86.5), обнаружим, что остаются всего
