Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
определена таким образом, что локальный наблюдатель приходил к выводу об
адиабатичности ее поведения, так как собственная энергия элементарного
объема изменялась из-за выполнения внешней работы, а не за счет теплового
потока. Нам следует помнить это обстоятельство, когда мы используем
модель идеальной жидкости.
230
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
§ 87. Уравнения механики в лагранжевой форме
Выше, в § 84, законы сохранения были выведены из фундаментальных
уравнений релятивистской механики и имели вид, няолне удобный для
большинства приложений. Тем не менее мы •запишем эти уравнения в другой
форме, для того чтобы получить для конечных систем аналогии законов
сохранения энергии и импульса. Это можно сделать несколько длинным, но
хорошо известным путем, который мы сейчас наметим *).
Прежде всего выразим лагранжиан й через символы Кристоффеля первого рода:
8 = V^g 8^ КЛ - r"vr?p]. (87.1)
Поскольку комбинация символов Кристоффеля в квадратной скобке не является
тензором, й не есть скалярная плотность. Однако, так как выражение (87.1)
принято как определение й во всех системах координат, можно найти
величину й в любой системе и можно построить не тензорные, но тем не
менее кова-риантные выражения, определяющие ft.
Варьируя плотность ft по величинам, от которых ft зависит, можно после
значительных упрощений записать вариацию в виде
ее = [- rjLr"p + r^ite] б [g^ V~g) +
f [- r"v + 1 g"r?p + i- g-r&p] 6 {(g*v /=¦?)}. (87.2)
Если теперь рассматривать ft как функцию двух новых переменных, которые
мы определяем формулами
8sv = JL(gBv/:r^)( (87.3)
можно записать:
~ = - ГрцаГ"р + (87.4)
и
~ = - r"v + I g"r?p + | g"r(V (87.5)
С помощью этих двух выражений, дающих зависимость Й от переменных и 0?v.
мы получим несколько уравнений, содержащих ft, которые будут полезны в
дальнейшем. Так, сопоставляя
(87.4) и (87.5) с выражением для свернутого тензора Римана -
*) Изложение следует книге Эддингтона [56] (§ 58, § 59).
§ 87. УРАВНЕНИЯ МЕХАНИКИ В ЛАГРАНЖЕБОИ ФОРМЕ
231
Кристоффеля (77.1), нетрудно убедиться, что последний можно' записать в
виде
d dZ dz
дх" дС
= R^. (87.6)
Эта формула обнаруживает формальное сходство с уравнениями движения в
классической лагранжевой форме, оправдывая название, которое мы дали
функции й. Далее, умножая выражения (87.4) и (87.5) на gPv и g?v
соответственно и производя некоторые упрощения, можно найти соотношения
(87.7)
D"|rv = 28- (87.8)
С их помощью легко вычислить скалярную плотность 8J:
dz
а = g^V- в = e-'R,,, = - ь ,/v
= { fl PV -^ _ n PV Jl* Д uv _ JL_ ( flPV \ _
g
a** [* d?>) 0a 9 <^v I d№;
(87.9)
Теперь мы уже можем написать фундаментальные уравнения механики в форме
обычной дивергенции. Для этого нам надо преобразовать второй член в
полученном ранее уравнении (84.8). Согласно первоначальным уравнениям
поля (84.1) можно записать:
- 8л= (Rliv - 4 Rgw+Agixv) V- gdg'lv =
2" ''gpv+Aguv J V
Ru.v V- g dg-iV - 4 R K77! guv dg"v + А У - g guv dgw
= /?," V- gdgi(tm) + RdV - g - 2AdV- g = = R^V- gdg^ + gM'v R^dV - g - 2KdV
- g =
= Rn\d (g^v V~--~g) - 2A d-Y ~~~g- (87.10)
При переходе от второй строки к третьей было использовано уравнение (39)
из Приложения III. Подставив сюда величину
232
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
R^v, записанную через лагранжеву функцию (87.6), и величину gpv,
определенную в (87.3), получим
dg
rPV
l,iV Л? д
дха
Йр
pv
да
да
-2Ад-^
дх(r)
д
дха
,|XV
<^v да \ да д
HV ,
дха ИР a"hv
,[iV
да
дв
,pv
- 2А
dV:
дх(r)
1PV
да
_ _д _ дх1
dg?v дх(r) "
да \ да
A flpv _ 2А д ^7-g
dgM"v д*^ дх(r)
д : дха
йр
да
• 2Л
дК-"Г
дх(r) дх(r)
- д"Й - 2g"AV^'g
(87.11)
Для дальнейшего использования этого результата введем новую величину,
которую можно назвать псевдотензорной плотностью энергии и импульса:
tS=ik-[r55+""8+28S'4/=i]. (87-12)
В соответствии с этим определением и (87.11), мы, очевидно, можем
написать:
дх'
дх^
(87.13)
Подставляя теперь это выражение в (84.8), можно придать уравнениям
механики вид обычной дивергенции:
дх
*ы:+л) = о.
(87.141
Это уравнение не является тензорным, так как величина tp не настоящая
тензорная плотность; дивергенция также здесь обычная, а не тензорная. Тем
не менее определение плотности
(87.12) ^ справедливо во всех системах координат, а последнее
уравнение ковариантно и справедливо во всех системах координат. Таким
образом, не возникает никаких сомнений в правильности этого
замечательного результата Эйнштейна.
Заметим, что согласно определению 11 (87.12) и значениям величин, стоящих
в нем и введенных предыдущими уравнениями этого параграфа, величина^ в
любой точке задается компонек-
§ 88. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА
233
тами метрического тензора ga$ и его первыми производными в этой точке.
Далее, если использовать естественные координаты в выбранной точке,
видно, что выражение для сводится к следующему:
(87.15)
Объединение его с выражением для тензора энергии - импульса
(84.1) приводит в этих координатах к соотношению
