Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
описания изолированной системы. Рассмотрим изолированную систему с
границей, находящейся в окружающем пустом пространстве на достаточном
удалении, так что можно пренебречь кривизной пространства - времени для
точек на границе и вне ее. Область пространства внутри этой поверхности
можно тогда рассматривать как трубу в окружающем "плоском" пространстве -
времени, и мы можем выбрать координаты так, чтобы они непрерывным образом
переходили в какие-то галилеевы координаты специальной теории
относительности, заданные вне трубы.
Легко видеть, что при таком выборе координат общий закон сохранения
энергии - импульса (88.2) для такой изолированной системы переписывается
в простой форме:
dJ "
-^ = 0, (88.5)
поскольку правая часть (88.2) равна нулю. Последнее же следует из формулы
(87.16) и нашего предположения, что кривизной пространства - времени на
поверхности цилиндра можно пренебречь.
Далее, можно показать, что величины /ц не зависят от преобразований
системы координат внутри цилиндра, при том условии, однако, что
преобразованные системы координат совпадают с галилеевой системой,
заданной вне цилиндра. В подтвержде-
236
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
иие .просто заметим, что всегда можно ввести дополнительную третью
систему координат, которая вне цилиндра совпадала оы с обычной галилеевой
системой, а внутри цилиндра в один момент "времени" xi (определенного вне
цилиндра) совпадала бы с первоначальной системой, а в некоторый более
поздний момент "времени" xi совпадала бы с преобразованной системой.
Тогда, поскольку величины /ц согласно (88.5) не должны зависеть от х4 во
всех трех системах координат, мы можем сделать вывод, что эти величины
идентичны для всех трех систем координат.
В дополнение можно показать, что величины преобразуются как компоненты
четырехмерного вектора при линейных преобразованиях, соответствующих
переходам к каким-либо новым наборам галилеевых координат вне цилиндра.
Строгое доказательство этого утверждения довольно сложно, и мы не будем
его здесь проводить (см. книгу Паули [38]).
Подытоживая предыдущее, мы видим, что в случае изолированной системы
физический смысл величин можно понять из того, что (1) при предельном
переходе они переходят в вели-лины, которые в специальной теории
относительности приняты как энергия и импульс; (2) они подчиняются
законам сохранения, если мы вводим координаты, переходящие в галилеевы в
"плоском" пространстве - времени вне системы; (3) они не зависят от
выбора системы координат внутри области, в которой существенна кривизна
пространства - времени; (4) они зависят от выбора галилеевых систем
координат в окружающем "плоском" пространстве - времени таким же образом,
как и величина m-odxv/ds, которую можно рассматривать (см. 28.4)) как
определение импульса и энергии частицы в специальной теории
относительности. Эти замечания должны помочь нам представить себе
физическую природу введенных величин.
§ 89. Плотности энергии и импульса, записанные в виде дивергенций
Для некоторых наших дальнейших применений законов сохранения энергии -
импульса удобно переписать и сами плотности энергии и импульса + в виДе
дивергенций. Для этого объединим выражения (84.1) для ^ и (87.12) для tji
следующим образом:
8д (й + t5) - -яг + тг*1* - -Г < + -Г"18 ¦ <ш>
Интересно отметить, что A-член при этом исчезает из последнего выражения,
даже если космологическая постоянная и не точно равна нулю. Подстановки
величин (87.6) и (87.9) в правую
§ 90. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВЕЛИЧИН
237
часть преобразуют (89.1) к виду
+ tli) -
1 а|3 58
Это можно записать и по-другому:
Пользуясь затем определениями величин, входящих в это выражение, можно
показать путем довольно длинных последовательных преобразований [65], что
сумма последних трех членов в полученном выражении тождественно равна
нулю.
В правой части, таким образом, остается лишь дивергенция, т. е.
Это соотношение окажется полезным при нахождении релятивистских
плотностей энергии и импульса.
§ 90. Предельные значения некоторых величин на больших расстояниях от
изолированной системы
В следующем параграфе с помощью уравнения (89.3) мы получим выражения для
полной энергии и импульса изолированной материальной системы.
Предварительно вычислим предельные (соответствующие большим расстояниям
от системы) значения некоторых величин, стоящих в правой части этого
выражения.
При вычислениях используем систему квазигалилеевых координат (х, у, z,
t), которую выберем так, чтобы наша материальная система все время
находилась вблизи начала координат x=y=z=0 и чтобы интервал принимал
галилееву форму на очень больших расстояних от начала координат.
Вследствие этого интервал'на достаточном удалении от начала координат
можно описывать приближенной шварцшильдовской формулой
(82.15), а именно:
dsa = -(l + Щ(с(х* + dy* + dz*) +(l -^dP, (90.1)
23S
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
где
Г = Ухг+уг+г*, т = const, (90.2)
так как на достаточно больших расстояниях поле благодаря расположению
