Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 96

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 205 >> Следующая

в котором можно считать, что dx^/ds соответствует приближенно скорости
системы как целого относительно используемой системы координат.
§ 92. Вычисление энергии квазистатической изолированной системы при
помощи интеграла только по занимаемому ею пространству
Для некоторых целей оба найденных выше выражения для энергии
изолированной системы
U = fJJ (sj+ ti) dxdydz и U=m (92.1)
могут оказаться неудобными. Недостаток первого выражения
состоит в том, что интегрирование в нем должно производиться
по объему значительно большему, чем действительные размеры системы, так
как t*, вообще говоря, не равна нулю в пустом пространстве. Второе же
выражение обладает тем недостатком, что оно не дает никаких рецептов для
вычисления энергии по действительным распределениям материи и излучения
внутри системы. Для частного класса систем (назовем их квазиста-
тическими) можно получить другие выражения, в некоторых отношениях более
удобные.
Подставляя в первое из двух выражений (92.1) плотность потенциальной
энергии (87.12), получаем
Космологический член здесь опущен, так как мы будем применять эту формулу
лишь к малым системам, относительно которых
1^ Р. Толмен
242
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
допустимо утверждение, что они окружены "плоским" пространством-
временем. Подставляя сюда выражение для й (87.9), имеем
Кроме того, взяв выражение для SR в соответствии с (78.11):
разложив третий член подынтегральной функции и объединив его с четвертым,
перепишем выражение для U следующим образом:
Далее, введем теперь условия, что координаты (х, у, z, t) -
квазигалилеева типа, как и в двух предыдущих параграфах, и что физическая
система постоянно находится в начале координат. Тогда второй интеграл в
правой части (92.2) легко вычислить с помощью теоремы Гаусса; при этом
область интегрирования удобно выбрать в виде сферы достаточно большого
радиуса, а значения на ее границе - в виде предельных величии
(90.6). Величина этого интеграла оказывается равной (1/2)т и согласно
(91.3) равна также (1/2) Д. Учитывая последнее, перепишем (92.2) так:
И наконец, определим квазистатическую систему как систему, в которой
изменения происходят за "время" t, настолько большое, что в правой части
(92.3) можно пренебречь вторым членом по сравнению с первым. Естественно,
что это выполняется строго лишь для состояний медленно меняющихся или
равновесных. Для энергии таких систем мы можем использовать простое
выражение [65]:
и =
SR -8л X -8л (Зй -Г ~Г !?з ~Г ?4)?
dt ( ^й"Р) dxdljdz'
(92.2)
У = 111 dx dy dz +
dxdydz. (92.3)
и = -%\ -%l-Xz) dxdydz. (92.4)
§ 93. РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ПОЛЯ В СЛАБЫХ ПОЛЯХ
243
Это выражение обладает тем значительным преимуществом, что интегрирование
в нем можно производить лишь по области, действительно занимаемой
веществом или электромагнитным полем, поскольку величины равны нулю в
пустом пространстве.
ЧАСТЬ II
РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИИ ПОЛЯ
§ 93. Общие эйнштейновские решения уравнений поля в случае слабых полей
Как упоминалось в начале этой главы, все законы релятивистской механики
содержатся в уравнениях Эйнштейна
-8nTl = Rl--±-Rgl+AgZ, (93.1)
которые связывают тензор энергии - импульса с геометрией пространства -
времени. В первой части мы изучили те следствия механики, которые
вытекают из условия равенства нулю тензорной дивергенции тензора энергии
- импульса Т^, возникающего из-за того, что дивергенция правой части
(93.1) равна нулю тождественно. Теперь мы перейдем к более общей проблеме
решения десяти дифференциальных уравнений (93.1) и тем самым свяжем
компоненты тензора энергии - импульса с компонентами метрического тензора
gp.v.
Для случая достаточно слабых полей эта проблема была полностью решена
приближенным решением Эйнштейна для этих уравнений поля. В случае сильных
полей мы не можем получить общего решения полевых уравнений, но, вводя
специальные предположения относительно физической природы рассматриваемой
системы, можем написать ряд упрощенных выражений, связывающих компоненты
Tl с компонентами метрики и ее производными. Эти выражения оказываются
полезными при решении уравнений в некоторых частных случаях.
Приступим теперь к нахождению общего приближенного решения, впервые
полученного Эйнштейном. Для этого рассмотрим слабое гравитационное поле,
которое допускает введение координат, мало отличающихся от галилеевых.
Компоненты метрического тензора в этом случае будут выглядеть следующим
образом:
gii.v = 6nV-f-/inv, (93.2)
где 6nv - постоянные галилеевы значения gp*: ± 1 и 0, a - малые добавки.
Величины htlv и их производные по координатам
16*
244
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ механика
будем считать членами первого порядка, а квадратами их будем
пренебрегать. Удобно также ввести величины
hi = h=hl = б^Аах, (93.3)
где 6|iv - галилеевы значения g'iv. Рассмотрим теперь выражение для
свернутого тензора Римана - Кристоффеля (77.1). Естественно исключить из
него члены высших порядков, что дает
, = Дс-,4-г;, = ФДФ +^-^'
Предыдущая << 1 .. 90 91 92 93 94 95 < 96 > 97 98 99 100 101 102 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed