Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.
Скачать (прямая ссылка):
Campbell, R. B. Dvce, R. F. Jungen, G. H. Pettengilt, Phys. Rev. Lett.
26, 1132 (1971).
**'*") I. I. Shapiro, Gen. Re!. Grav. J, 135 (1972).
Ill
IV
y=l,0±0,l, p=l,l±0,2
ГЛАВА VII
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
ЧАСТЬ I
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ § 84. Основные уравнения релятивистской
механики
В этой главе мы обратимся к более подробному изложению некоторых
следствий релятивистской механики, которые либо будут существенны для нас
в дальнейшем, либо кажутся нам особенно интересными. Все они содержатся,
в конце концов, в уравнениях Эйнштейна
- 8лrv = 1 Rgnv + лg"', (84.1)
которые дают связь распределения энергии и материи с геометрией
пространства - времени в форме равенства тензора энергии - импульса
выражению, составленному из фундаментального метрического тензора g^v и
его производных. Задача релятивистской механики - исследовать с помощью
этого уравнения законы, которые управляют тензором энергии - импульса,
определяя тем самым поведение материи и энергии.
Для многих задач полное уравнение (84.1) не нужно. В правой его части
стоит величина, тензорная дивергенция которой, как известно, тождественно
равна нулю, откуда сразу следует, что
(Гиу)у==о. (84.2)
С помощью одного этого простого уравнения уже можно сделать много важных
заключений о поведении вещества и энергии. Прежде всего, поскольку
уравнение (84.2), если его записать в естественных координатах:
дт^
Ъ-=°- (84-3)
совпадает по форме с фундаментальными уравнениями механики в специальной
теории относительности, то естественно принять (84.2) в качестве
фундаментальных уравнений механики в общей теории относительности.
§ 85. СВОЙСТВА ТЕНЗОРА ЭНЕРГИИ - ИМПУЛЬСА
223
Развернем это выражение, применяя правила ковариантного
дифференцирования; тогда фундаментальные уравнения механики (84.3) можно
переписать следующим образом:
^ + Г&Г" + r*v7tia = 0, (84.4)
дху
а опуская индекс р,- в виде дт'1
-Г* - KvTl + I avT" = 0. (84.5)
Далее, вводя вместо тензора энергии - импульса соответствующую тензорную
плотность
(84.6)
последнее уравнение можно переписать с помощью известных преобразований
(уравнение (47), Приложение Ш) в более простой форме:
И 1 p??ap__л /пл у\
или
§ 85. Свойства тензора энергии - импульса. Общее выражение в случае
идеальной жидкости
Чтобы извлечь физические заключения из фундаментальных уравнений
механики, мы должны их применить к какой-либо физической среде, для
которой известна явная зависимость тензора энергии - импульса от
наблюдаемых свойств среды. Для этого нам необходимо знать явное выражение
тензора через величины, которые измеряются на опыте с помощью обычных
методов. Из принципа эквивалентности следует, что такие выражения можно
получить путем ковариантного обобщения тензора энергии - импульса из
специальной теории относительности.
В специальной теории относительности в случае чисто механической среды,
когда состояния в каждой точке могут определяться механическими
натяжениями Р°ц и плотностью р0п, измеряемыми локальным наблюдателем, мы
нашли следующее
224
Г Л, VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
гтл 'Xf)
1 О
энергии - ИМ пульса *)
Р°хх Р% 0
р1 Р°уу Р'уг 0
р\х Р% Pzz 0
0 0 0 Роо
(85.1)
При этом была использована специальная система галилеевых координат,
относительно которой в рассматриваемый момент времени вещество в данной
точке покоилось. Из принципа эквивалентности, однако, следует, что и в
общей теории относительности тензор энергии - импульса механической среды
должен иметь тот же самый вид, если он записан в собственных координатах
(xj, x\, xl, хо) рассматриваемой точки. Таким образом, матрица (85.1)
задает тензор энергии - импульса механической среды в общей теории
относительности, определяя его компоненты в специальной системе - системе
собственных координат. Чтобы получить выражение этого тензора в любой
другой системе координат (х\ х2, х3, х4), надо лишь применить правило
преобразования тензоров:
.TiLiv _ дх*1 dxv ,
~ дх" дх"
.Tf, (85.2)
позволяющее находить нужные компоненты с помощью производных, связывающих
новую систему координат с первоначальной собственной системой; в итоге
эти компоненты оказываются выраженными через собственные плотность р0о и
натяжения p(r)jt измеряемые локальным наблюдателем обычными физическими
методами. И наоборот, если известны компоненты тензора в данной системе
координат, можно вычислить собственные натяжения и плотность с помощью
обратных преобразований.
Хотя соотношение (85.2) является общим выражением для тензора энергии -
импульса механической среды, определяющим его в любой заданной системе
координат, его конкретное содержание зависит от производных, связывающих
эти координаты с некоторой системой собственных координат. В случае
идеальной жидкости можно, однако, с помощью некоторых подстановок
избавиться от явной зависимости от собственных координат и дать более
прозрачное выражение для тензора энергии - импульса, зависящее от
действительно используемых координат.
