Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Толмен Р. -> "Относительность. Термодинамика и космология" -> 95

Относительность. Термодинамика и космология - Толмен Р.

Толмен Р. Относительность. Термодинамика и космология — М.: Наука, 1974. — 520 c.
Скачать (прямая ссылка): otnositelnosttermodinamikaikosmologiya1974.pdf
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 205 >> Следующая

системы сферически симметрично, а также статично в силу того, что система
изолирована. Последнее означает, что мы считаем, что на этих расстояниях
изменения, происходящие внутри системы, не влияют на метрику и что
термодинамическими процессами, протекающими внутри системы, можно
пренебречь. Будем опускать члены порядка (т/r), считая их малыми по
сравнению с единицей. Тогда легко убедиться в том, что символы
Кристоффеля, соответствующие введенной метрике, имеют вид
pH т дг -pv т дг
рр рр I т дг (ц = 4, ро ~ (90.3)
lv^-l^v-±7r^r^^4> Jnv-0,
где [1, v и а - различные индексы. Заметим, что практически в
соответствии с (90.2) часть этих величин исчезает, поскольку не зависит
от г и x^-t.
С помощью этих выражений для символов Кристоффеля и выражения (87.5) для
Зй/Зд^можно получить в явном виде величины, стоящие в правой части
(89.3), которые будут необходимы нам в следующем параграфе. Вычислим их с
той же степенью точности, что и символы Кристоффеля:
,а4
58 dZ pi | 1
= - Гн Н-я- Г48 - О,
> а4
Зв\" <Эв14 - 4 г 2
дa дг =-г?4 = о,
dZ dZ pi т дг
8 А44 Г44 r% дх
ар dZ dZ dZ df, . 5ft
8 dt?
I 11 g-Г]8Г22 + Г33 - Г44 =
m f dr_ /_ dr_ dr , dr \ dr ,_ dr _5r) _
ri ( dx ( dx dx dx dx J dx dx dx J
2m dr ra ~dx
§ 91. МАССА, ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ИЗОЛИРОВАННОЙ СИСТЕМЫ
239
Воспользовавшись симметрией относительно х, у, и z и заменив производные
г по координатам направляющими косинусами радиуса-вектора, запишем эти
выражения окончательно в виде
= = (90.4)
гтл ох т / ч
В = ~ 7г"к(лл),
-.ai
i 1
ас
дъТ
дг
-¦ 4а "
°йз
дй 2 т
~ 7Г
дг 2т
а*? 72"
дг 2т
7*"
(90.5)
8<ХР1§Р =7^С03М-
= T?-cos("i/)> (30-6)
n"P-
Этот перечень формул дает нам на больших расстояниях от материальной
системы предельные значения тех величин, которые будут нам необходимы, в
следующем параграфе.
§ 91. Масса, энергия и импульс изолированной системы
С помощью найденных выше величин мы можем теперь получить выражения для
энергии и компонент импульса изолированной системы. Исходя из (88.4) и
(89.3), выразим энергию системы в виде
17 = /" = JJJ(sE4 + tl)d*d0dz =
= в" Зб + Т (И.П
что справедливо, если интегрирование производится по достаточно большому
объему, окружающему рассматриваемую систему. Пусть этот объем имеет вид
сферы радиуса г вокруг начала координат. Уславливаясь суммировать по
дважды встречающемуся индексу f и используя теорему Гаусса, преобразуем
первые три члена суммы в поверхностные интегралы. Подставляя
240
ГЛ. VII. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА
в правую часть (91.1) предельные величины (90.5) и (90.6),
соответствующие достаточно большим г, получаем
U = ^ (cos2 (пх) + cos2 (пУ) + cos2 (tiz)}da -f
+ 5ГТ jjj (- a" + Ь°->Щ.1ЫуЛг. ,91.2)
Сразу видно, что первый член в этом выражении равен т. Второй член в этом
выражении не может быть вычислен в явном виде, поскольку в нем
производится интегрирование по всему объему сферы, включая область,
окружающую начало координат, где вид интервала неизвестен. Тем не менее,
так как U - постоянная, в соответствии с законами сохранения энергии для
изолированной системы (88.5) и поскольку т - постоянная, по определению
характеризующая статическое поле на больших расстояниях, очевидно, что
второй член правой части (91.2) также должен быть постоянным, а
следовательно, должен быть равен просто нулю, так как интеграл не может
неограниченно изменяться с постоянной конечной скоростью. Таким образом,
энергия изолированной системы выражается формулой Эйнштейна:
U=m. (91.3)
Импульс системы в используемых координатах может быть определен подобным
же образом. В соответствии с определениями (88.4) и (89.3) компоненты
импульса в направлении оси х можно записать в виде
А = + u)dxdydz = ^r 9 a4^f]dXdydz-
Поступим с этим выражением так же, как и с (91.1), т. е. отбросим нулевые
члены, пользуясь (90.4), и в результате получим
А "5ГТ ПТ (-8"'-^W"<fc = 0. (91.4)
В итоге компоненты импульса /1, /2 и /3 и энергия /4={/ изолированной
материальной системы, находящейся все время в начале квазигалилеевой
системы координат, задаются набором
/ц=(0, 0, 0, т). (91.5)
Три компоненты импульса оказываются равными нулю, конечно, из-за
специального выбора системы координат, при котором
§ 92. ЭНЕРГИЯ КВАЗИСТАТИЧЕСКОП СИСТЕМЫ
241
наша система покоится в начале координат. Величина т, полученная для
энергии системы, также вполне понятна, она указывает, что полная энергия
изолированного объекта - это величина, входящая в шварцшильдовское
приближение, которое определяет гравитационное поле на больших
расстояниях от объекта.
Воспользуемся теперь тем обстоятельством, отмеченным уже в конце § 88,
что компоненты /ц преобразуются подобно компонентам ковариантного вектора
при линейных преобразованиях, соответствующих заменам одной системы
галилеевых координат другой в окружающем "плоском" пространстве -
времени. Тогда согласно (91.5) можно записать для > более общее контр-
авариантное выражение:
= (91-6)
as
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed