Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Nd,BV (-kTdldB, В', h") =
= Nd,B R (-kTdldB', -kTdldB", 3F0 (B')ldB', -h"), (28.5)
которая аналогична (5.29).
Следует отметить, что в оператор (5) не входит В", так что по параметрам
В" не устанавливается стационарное распределение, а происходит
диффузионное расплывание вероятности.
Если уравнение (4) проинтегрировать по В", то получим уравнение для
распределения по переменным В':
zb (В') = NdiB, $R (-kTdldB', 0, dF0 (В')ШВ', -h").
Производящее равенство (3) эквивалентно такому соотношению для оператора
(5):
Nd>B'V(- kTd/dB', y"-h", В', h")w0(B') =
= m(B'){Nd, B'V(- kTp'd/dB', - г"у", e'B', e"h")\\ (28.6)
334
где w0 (В') = const'ехр (-F0 (B')lkT) - равновесное распределение по
параметрам В'. vs*
Заметим, что правую часть (6) можно записать в виде
wo (В') NB'<dV (kTe'd/dB', -гу", г'В', е*А").
Используя формулу (6.25), получаем, что соотношению (6) эквивалентно
равенство
ехр {-кТЩду'дВ')) [1/ {у', у" - К', В', h") w0 (В')] =
= V (-гу', -гу", г'В', e"h") w0 (В'). (28.7)
Чтобы убедиться в справедливости (6) н (7), умножим обе части (7) слева
на ехр (РВ'х') и проинтегрируем по В' в бесконечных пределах. После
этого, аналогично тому, как было получено (6.33), будем иметь
Q (у' + А-', у" - К', a', h") =
= Q (-еу', -г"у", е'х', e"h"), (28.8)
где
Q (У, х, h") - [ 1/ (у, В', /г") av (В') dB', (28.9)
wX' (В') = ехр (РВ'х') wu (B')j | ехр (РВ'х') w0 (В1) dB'. (28.10)
В силу малости (с макроскопической точки зрения) величины kT = = Р-1
распределение (10) является весьма острым, сосредоточенным вблизи точки,
определяемой уравнением dF0 (В')!дВ' = а'. Поэтому из (9) имеем
асимптотическое равенство
Q (у, dFo (В')!дВ', h") = V (у, В', h").
Если кроме этого равенства учесть (5), то найдем
Q (у, х', h") = R (у, a', -h"). (28.11)
Следовательно, (7), (8), а значит и (6), эквивалентны равенству (3).
Если рассматриваемая система открыта по всем переменным, т. е. В - В', то
равенство (3) принимает вид
R (у" - /г", -/г") = R (-г"у", -eh!') или
R (у - /г, -h) = R (-еу, -eh). Учитывая (11), это равенство можно
записать в форме
Q{y - h, h) = Q {-ey, eh), (28.12)
аналогичной (6.33).
2. Производящее равенство немарковской теории в случае систем,
открытых по всем переменным. Для вывода производящего равенства,
соответствующего немарковскому неквантовому случаю, следует
воспользоваться равенством (26.18). Напомним, что входящий в него
функционал в силу (26.6), (26.17) определяется формулой
П [у (t), h (0] = Р In {(ехр [(3 | уа (t) Ja (0 dt])h (т)}. (28.13)
335
Положим силы h (t) = h° не зависящими от времени при -т/2 < < t < т/2 и
равными нулю вне этого интервала. Функцией у (t) распорядимся аналогичным
образом, положив
(Уа при -т/2 </< т/2,
Уа (/) =
( 0 при /< - т/2, />т/2, где yl. - постоянные. Тогда будем иметь
j У а (0 Ja (0 dt =-- yl [Ва (Т/2) - Ва (- Т/2)] = //" Д?".
Удобно ввести функцию
G (у°, Л°) = т '(3 1 In {(ехр ($y°aABa))k°\, (28.14)
которую в силу (1.6) можно представить в виде ряда G(y°,h°) =
оо
= X-1 ЗЗГ'1 ("!)"' <Д5а, . • • • . ля<Оа. ^ • • • &т> <28-15)
где
т/2 т/2
(A5V .... Д Bam)h0 =[..•} (J и . ..,Jm)dh . . . dtm. (28.16)
-•Т/2 -т/2
Сопоставляя (13) и (14) при указанных функциях у (t), h (I), имеем П [у
(/), h (/)] = тС {у0, 1г°).
Используя это равенство, из (26.18) при выбранных функциях получаем
равенство
G (у0 - А(r), А0) = G (-е/Д eh°). (28.17)
Обозначим через ткор время корреляции случайного процесса J (/). Если
различные компоненты имеют различное время корреляции, то в качестве ткор
нужно взять максимальное время. Обозначим далее через трел время
истощения запасов Qp в резервуарах Р$. При достаточно большой емкости
резервуаров выполняется усиленное неравенство
*Гцор Грел.
Возьмем величину т в (15), (16) такой, чтобы она удовлетворяла
неравенствам
тКОр"т"грел. (28.18)
При бесконечном увеличении емкостей резервуаров значение т,
удовлетворяющее неравенству (18), можно устремить к бесконечности. При
этом величины
(ДВах, . . А5^)/."/^
336
будут стремиться, как можно получить из (16), к обобщенным коэффициентам
диффузии
оо оо
DaY... am(h°) = f ¦ • • j (Д . .. Jm)h"dt2 .. . dtm,
- oo --oo
а функция (15) перейдет в
G (у0, A0) = ? Г"! (m I)-1 ... "т (ft-0) у\ ... у°а . (28.19)
m=1 1 'п 1 т
Эта предельная функция будет удовлетворять тому же самому равенству (17).
Полученное производящее равенство (17) по форме совпадает с (12). Это
вполне естественно, поскольку А в (12) и А0 в (17) имеют одинаковый смысл
постоянных сил и поскольку функция G (у, А) имеет смысл, аналогичный Q
(у, А). В самом деле, при т " ткор плотность распределения w (АВ) для
приращения параметров В$ приближенно удовлетворяет уравнению
ОО
<4S> = 2 ¦-^э-)-.-."'.8(дВд|д) ["-. ¦".. <ft) =
= рh)w (28.20)
(использовано (19)), описывающему диффузионное расплывание указанной
плотности. Дифференцирование здесь с одинаковым успехом можно проводить
по АВ и по В. Это уравнение служит конкретизацией уравнения (4) для
случая системы, открытой по всем переменным. Сопоставление (4) и (20)
