Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
fcpy, б ~\~ ^арб, у ^ауб, р "Ь ^Руб, а "Ь ^ ^аРуб = 9.
Итак, мы получили набор ФДС, но, конечно, более бедный, чем набор ФДС,
рассмотренных в п. 10.2, поскольку мы теперь не можем пользоваться
условием временной обратимости.
Найденным соотношениям можно придать другой вид. Воспользуемся
разложением
оо
Aar..am (В) = ^j(S0 1 ^"1 ...am, y1...yJ}y1...Bys (29.56)
кинетических коэффициентов в точке максимальной плотности вероятности
(2), т. е. в точке минимума функции 'F (В) (эту точку принимаем за начало
координат). Усредняя (56) с плотностью распределения wx (В) в
соответствии со второй формулой (53) и учитывая (16), можно выразить иа
...а (*) через производные от функции Ф (х). Например,
х (х\ - Ь _ ? d(r) (х)
\л) - ка ка, у
^аР {¦%) - ^ар ^ар, у
1 , / дФ дФ д2Ф \ , /оп с_.
2 а'У6 (дху дх6 * дхудх6) 1 ' ' ' ' (29'57)
дФ (х)
Дифференцируя эти выражения в нулевой точке в соответствии с первой
формулой (53), можно найти 1а%... а , рх ... рД
j д2Ф
*а,
Р- "а, у dXydXfi
+ 2 уб (" дХу дх^дхь " дх$ дХу дХ(,
1 Ь (о дФ д2ф д3Ф \
у6 \ дху дхл дх& И дха дху дх* /
д*Ф , (29'58)
дх^дХу +
. 1 , /п 52Ф д2Ф \ ,
+ ~2~ ka, уб ( 2
дх^дХу дх^дхь
348
и т. п. при х = 0. Входящие сюда производные от функции Ф (.v) в нулевой
точке, используя (13), можно выразить через единовременные стационарные
корреляторы:
(Вах (t), ¦ ¦ ¦, Ват (0) = H'OCj. • .ат • (29.59)
Значение (Ва) = ра имеет порядок х, если начало координат помещено в
точку максимальной вероятности, как это видно из приложения 4.
Удерживая лишь главные члены, из (57), (58) будем иметь ^а, р ^ ^а, уИуР'
fcp ^ар,
pipa == ^ 2 (^а, vM"VPIР2 гвМ'ГЭ.^вр,).
АхР, б == ^ ^"р, у9уб> ^аРб ^арб*
Поэтому соотношения (54) и (55) преобразуются к виду
^а, yFyP "1" ^р, уРуа ^аР> (29.60)
^а, бРбРу "Ь ^р, бИбау "Ь ^-у, бИ'бар "Г- kа, раИррРау ~!-
~Г ^Р, раРраРау Г /г.;, раРраРаР ^ар, бРбу "Ь
~Г ^ру, бРба + ^ау, бРбР + ^арб - 0- (29.61)
Примечательно, что в полученные соотношения не входит параметр х,
указывающий уровень флуктуационных воздействий. Нужно отметить, однако,
что данные соотношения являются приближенными, в то время как соотношения
(54), (55) являются точными. Полученные соотношения связывают между собой
три объекта:
1) коэффициенты разложения функции, стоящей в правой части
феноменологического уравнения (20), которая в первом приближении
совпадает с Ki (Л), так что
fa (Л) " *а. рЛр Л- VA, р7Л,Иу + • • ¦ i (29.62)
2) корреляторы (59), соответствующие единовременному стационарному
распределению, и 3) нестационарные флуктуационные характеристики ka$,
&ap,у, ^apy, •••, описывающие свойства случайных воздействий входящих в
уравнение Ланжевена
В = Кг (В) + | (В, t).
Как видно из (60), (61), зная ka<,, и ртр, можно определить йаР, но в
отличие от случая закрытых систем, зная kai Y, ka, pY, pap, papv, не
удается однозначно определить ka$,y, &apy
9. ФДС в немарковском случае. Вместо (20) в случае немарковского
процесса В (t) будем иметь уравнение с запаздыванием
К (/) = Ха [В (/)] - j Xa, Р (Ь tl) ЙЗ (*i) Ml +
+ V2 J Xa, py (t> h> U) В $ (/1) By (t2) dtx dt2 -)- • • •
Ему соответствует уравнение Ланжевена
Ba[(t) = Xa[B(t)] (29.63)
349
где la - случайные функции с нулевым средним значением. В данном случае
линейное соотношение, служащее обобщением соотношения (60), будет иметь
вид
Ха, у (t, О 1S? + Хр, 7 (*> О IV = - <Ь* (0- ?р (0>о
или
фц а + Ф*. 1 == Фи. . (29.64)
где
Фа, Р {t, О = -Ха, У (t, Г) ,11,0, (?ь Uo = ФЦ.
Для случая, когда Ва являются частью компонент комбинированного
марковского процесса (В, С) и когда стационарное распределение w (В, С)
распадается на произведение:
w (В, С) = w (В) w (С), (29.65)
формулу (64) можно доказать методом, примененным в п. 15.3. В самом деле,
в данном случае выполняются равенства (15.8) при = к-1рГ/>
причем [iaa = расс = 0 в силу (65). Поэтому к данному случаю применимо
рассмотрение, изложенное в п. 15.3. При этом вместо (15.29) можно
использовать формулу (60), записанную для комбинированного процесса.
Далее для указанного выше случая методом, примененным в п. 15.5, но,
конечно, в результате более громоздких выкладок, можно, в принципе, при
помощи (61) доказать соотношение
Ф123 - Ф12, з - Ф13,2 - Фгз,1 Ф1,2з т~ Фг, 1з Фз, 12 = 9 (29.66)
типа (15.80). Здесь
Ф1,23= ^2) S (^23) M'vaiaa Vi.Yf>(^b f, h) 1V2 M-
баз,
Ф123 = - (?1, ?2, ?з)о, Ф12,3 = ~ЩГ(Тз)~ IV" при В = 0.
Стоящая в последнем равенстве функциональная производная понимается в
смысле, указанном в п. 15.6. Именно, функция 1а (В, t) берется в виде
некоторого функционального выражения Fa [t, | (t), В (i)], скажем,
пйа)(Осв'+
о
+ \ (t; f, t") ^0) (0 By (O df df] , (29.67)
где |(0) - случайные функции с нулевым средним значением, а By (t) -
независимо задаваемые (аргументные) функции. Выражение (67) еще не
подставлено в (63) и корреляции между В (t) и (t) еще не
установились. Приведенному выражению соответ-
ствует коррелятор
(t",(0), la,(t2))B = (Fai [tn I, B]Fa3[t2, I, B])b
