Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Стратонович Р.Л. -> "Нелинейная неравновесная термодинамика " -> 121

Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.

Стратонович Р.Л. Нелинейная неравновесная термодинамика — М.: Наука, 1985. — 480 c.
Скачать (прямая ссылка): nelineynayaneravndinamika1985.pdf
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 178 >> Следующая

являются энтропийным вариантом равенств (7), а уравнения (42) служат
примером уравнений (9). В линейном приближении (43) можно заменить на
равенства
X = Т-2 (Т - Тр), X' = Т-2 (Г - Т).
При их учете уравнения (42) записываются так:
U = Т2а (X' - X) - Т2уХ, U' = Т2а (X - X').
Сравнивая эти уравнения с общими уравнениями Аа = Lat$X& линейной
неравновесной термодинамики в энтропийном варианте,
326
находим матрицу Онзагера
(27.44)
Дописав в уравнении (42) флуктуационные силы, получим уравнения Ланжевена
Входящие сюда случайные функции | ((), (() имеют нулевые
средние значения и вследствие линейного ФДС
(см. (10.27)) и равенства (44) имеют корреляционную матрицу
Благодаря теплообмену с термостатом в уравнениях (45) появляется
дополнительный флуктуационный источник, интенсивность которого
пропорциональна у, но не Пр и помощи (45) и (47) легко рассчитать
статистические свойства флуктуаций энергии.
9. Простая автокаталитическая реакция. Исследование устойчивости
стационарного состояния. Рассмотрим идущую в объеме V химическую реакцию
автокаталитического типа
где Y, D - некоторые вещества. Согласно изложенному в п. 8.1, молярные
концентрации [Y], [DI в приближении идеального газа при этом
удовлетворяют уравнению
Будем предполагать, что имеется постоянный отток /ех вещества Y во
внешнее пространство. Тогда при наличии перемешивания указанное выше
уравнение заменится уравнением
Кроме того, будем предполагать, что концентрация [D ] поддерживается
постоянной. Механизм, благодаря которому это происходит, для нас не
существен. Вследствие постоянства [DI и наличия оттока /ех
рассматриваемая система является открытой.
Вводя новое время ? = 1/2k+ [D] t и производя замену переменной у -
2k_k~+ [Y]/[D], приводим уравнение (48) к виду
где а2 = 4k_k+2 [D ]-2К-1./ех. Используя (49), из условия dy/dl = 0, т.
е. условия постоянства величины у, можно найти стационарные
327
U ~а(Т' - Т) -|- у (Гр - Т) -f | (0, V = а(Т - Г) -f (/).
(27.45)
(?а ih) tp (4)) - k (La, p Г ^P, a) & (^12)
(27.46)
(ШШ) = 2кТ*(а Д y)6(t12),
<i' (h) Г (*,)> = - (I (ti) Г &)> = 2kT*a8
(27.47)
k
d [ Y }ldt = k+ [DI [Y ] - k_ [YI2.
d [YI/dt = k+ [D ] [Y ] - k_ [Y I2 - Дх/К.
(27.48)
dyldl = 2 у - у2 - а2,
(27.49)
значения уп. Они определяются уравнением у2 - 2у + а~ = О-Решая его,
получаем два стационарных значения
- о2
(предполагаем, что а2 < 1).
Для отклонения 8 у = у - у0 из (49) находим уравнения
dby/dt = 2(1 - у2) бг/ = =F 2 У1 - а2 б у. (27.50)
Из них видно, что значение = 1 -i 1 -а2 является устойчивым, а значение
у0, - l + i 1 - а1 - неустойчивым.
Интересно проиллюстрировать применение к данной задаче критериев
устойчивости, рассмотренных в п. 5. Начнем с критерия 1. Имеем
dby2!dt = 28г/ dby/dl.
Подставляя сюда (50), находим
d5y2/dl = + 4 У1 - а2 бг/2.
По критерию 1 значение у\ является устойчивым, а значение у?,
неустойчивым, что совпадает с выводом, полученным ранее.
Перейдем теперь к критерию 2, взяв его в виде (33). В силу (8.19) имеем
бх = RT 61n [Y I = RT б yhy " RT б у/у0. (27.51)
Следовательно, сумма ^bxy8Jy, конкретизирующаяся как бх бJ = = бх d8
[Y]/d?, в данном случае равна const bydbyldt при положительной константе.
Поэтому неравенство бх б7 1 эквивалентно
неравенству d (6y2)/dT 0, входящему в критерий 1, так что крите-
рий 2 эквивалентен критерию 1.
Рассмотрим теперь критерий 3. Пренебрегая разностью между I и / и
учитывая, что dx = RTy~xdy (см. (51)), в данном примере будем иметь
(4Ф (у) = J dx = RTyy-1 dy = RT (2у - у2 - а2) у"1 dy.
Отсюда находим
Ф (у) = RT (2у - V# - a2 In у). (27.52)
Итак, функция, определенная равенством 2) критерия 3, найдена. Условие 1)
критерия 3 в рассматриваемом примере выполняется в силу равенства дх/ду >
0. Остается проверить условие 3) вблизи стационарных точек. Для функции
(52) получаем
(РФ = RT (а2у-2 - 1) dy2, так что вблизи точки у\, а также у\ имеем
d2Ф = 2RT (yl 2)-2 (+ ]Л - а2 - 1 + a2) dy2 =
= 2RT (yl 2)"2 |Л -а2[+ 1 - Y1 - °2\йУ2-
328
Выражение в правой части отрицательно для точки у\, так что d2Ф < 0 при
dy Ф 0 и условия применимости критерия 3 выполнены, и, следовательно,
точка у\ устойчива. Точка же у°1У для которой (РФ > 0, неустойчива. Итак,
мы снова приходим к полученным ранее выводам. Конечно, в более сложных
примерах различные критерии могут быть неэквивалентны.
10. Поток примеси через вещество. Рассмотрим трехмерную среду, через
которую диффундирует некоторая примесь. Ее молярная концен'1 рация с (г,
t) удовлетворяет уравнению диффузии
с = D Ас. (27.53)
Рис.27.6
Предположим, что среда заполняет прямоугольный параллелепипед, причем
примесь с одной стороны постоянно входит в него, а с другой выходит (рис.
27.6).
Благодаря этому устанавливается стационарное неравновесное состояние, при
котором имеет место постоянный поток вещества через среду, предполагаемый
однородным. При этом имеется некоторое распределение концентрации по
пространству. Вследствие стационарности эта концентрация удовлетворяет
Предыдущая << 1 .. 115 116 117 118 119 120 < 121 > 122 123 124 125 126 127 .. 178 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed