Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
энтропия Я монотонно убывает:
dHIdt < 0. (29.29)
342
Зададимся некоторым интервалом времени Д = 4 - 4 > 0 и рассмотрим
изменение плотности распределения до (В) на этом интервале. Если моменту
времени 4 соответствует распределение до (В), то в момент t" будет такое
распределение:
до (В) = J ть (В|В') w(B')dB', (29.30)
где дод (В | В') - вероятности перехода, входящие в уравнение (3.7). Они,
естественно, удовлетворяют условию нормировки
j wA(B\B')dB = 1. (29.31)
Стационарное распределение не изменяется во времени, так что
J дод(В | B')wC[(B')dB' = доот (В). (29.32)
Если в момент 4 распределению до (В) соответствовала энтропия (27), то
моменту 4 будет соответствовать энтропия
Я = х j до (В) In [до (В)/дост (В)] dB. (29.33)
Вводя функцию
ср (г) = г In г, г^О, (29.34)
указанные энтропии (27), (33) можно записать в виде Я= и [ дост (В) ф [до
(В)/дост (В)] dB,
(29.35)
Я = и] доот (В) ф [до(В)/дост (В)] dB.
Рассмотрим разность Я - Я этих выражений. Вследствие (35), (31) и (32)
данную разность можно представить так:
Я-Я=" |дод(В|В')дост(В') х
X |ф [до(Я')/дост (В')] - Ф [до (В)/дост (В)]} dB dB'. (29.36)
Функция (34) выпукла при г 0, поскольку ф" (г) - г1 ^ 0. Следовательно,
справедливо неравенство
Ф (я) - ф (23) ^ (2i- г.2) ф' (z2), z2 is 0.
Используя его при = до (В')/дост (В') и г2 = до (В)/дост (В), из (36)
получаем
Я - Я 2s и J дод (В | В') дост (В') [до (В')/дост (S') - ^ (В)/дост (В)]
X
X ф' [(r)(B)/a>cx(B)]dBdB' = "4 - /2 (29.37)
Здесь
Л = х J Дод (В | В') дост (В') [до (В')/дост (В')] X
X ф' [w(B)/wcr(B)]dB dB'= х |до(В)ф' [до (В)/дост (В)] dB (29.38)
343
(использовано (30)). Кроме того,
/2 = х J wA (В | В') wCT (В') [w (B)/wCT (В)] ф' [гг; (B)/w0T (В)] dB dB'
=
= х j гг; (В).ф' [гг; (B)/wCT (В)] dB (29.39)
(использовано (32)).
Вследствие совпадения интегралов (38) и (39) неравенство (37) дает
Я - Я 0. (29.40)
Поделив это неравенство на А и переходя к пределу Д -> 0, получаем
неравенство (29), которое требовалось доказать.
Отметим, что энтропия (27) монотонно убывает независимо от того, является
ли пространство значений параметров непрерывным или дискретным.
Приведенная Н-теорема одинаково справедлива для открытых и закрытых
систем.
6. Одно следствие из последней теоремы. Прежде чем переходить к
использованию последней теоремы, зададимся вопросом, какое распределение
гг; (В) при фиксированных средних значениях
J Baw (В) dB-Aa~ fix (29.41)
и при фиксированном условии нормировки минимизирует энтропию (27). Чтобы
ответить на этот вопрос, следует, используя метод множителей Лагранжа,
образовать функционал
К [w (В)] = х j гг; (В) In [гг; (B)/wCT (В)] dB ф-
+ S J B"w dB+^ Jw dB (29-42)
а
и записать условие его экстремума б/С/бгг; (В) = 0. Последнее дает к In
[гг; (B)/wCT (В)] + к + А,аВа + А0 = 0, т. е.
гг; (В) = ехр [- 1 - (ХаВа -f А0)/к] гг;ст (В). (29.43)
Полученное распределение совпадает с (5), если положить Ха = -ха.
Учитывая (10), можно конкретизировать нормировочную постоянную скошенного
распределения (43), записав его в виде
гг; (В) = ехр {х-1 [Ф (х) - ? (В) + Вх]\. (29.44)
Параметры ха конкретизируются из условия (41), которое в силу (15) можно
записать так:
-дФ (х)/дха = Аа-
Остается удостовериться, что экстремальное распределение (44)
соответствует именно условному минимуму энтропии (27). Для этого
рассмотрим вторую производную от функционала (42)
8w (В) 8w (В') = w(B) & lw (В) - w (В )]¦
344
Поскольку данная матрица неотрицательно определена при неотрицательных w
(В), в указанной экстремальной точке имеет место минимум функционала (42)
и, следовательно, условный минимум энтропии Я.
Распределения типа (44) образуют гиперповерхность Г в пространстве
распределений вероятности. Предположим, что в момент времени tx
распределение w (В) принадлежало указанной гиперповерхности, т. е. имело
вид (44) при некоторых х. Через время А = t2 - tx указанное
распределение, эволюционируя в соответствии с кинетическим уравнением,
превратилось в распределение (30), для которого справедливо неравенство
(40). Новое распределение w (В) не обязано принадлежать гиперповерхности
Г. Вернем его на эту гиперповерхность, т. е. заменим распределением wA
(В) вида (44), потребовав, чтобы wA (В) давало те же самые средние
значения (Ва), что и w (В):
Поскольку распределения из Г имеют минимальную энтропию Я среди всех
распределений с теми же (Ва), нетрудно понять, что энтропия Яд
распределения wA будет удовлетворять неравенству
Итак, переход т (В) -> wA (В) сопровождается уменьшением энтропии Я.
Произведем А-разбиение временной оси и будем рассматривать поочередные
изменения распределения в соответствии с кинетическим уравнением и
возвраты (типа описанного) на гиперповерхность Г как длящийся процесс.
Устремив А -> 0, получим непрерывное движение вдоль гиперповерхности Г.
Для него вследствие (46) будет выполняться неравенство
В случае описанного движения вдоль гиперповерхности Г средние значения Аа
