Нелинейная неравновесная термодинамика - Стратонович Р.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Найдем соответствующую данному распределению характеристическую функцию
0 (ш) = | ехр (iuB) wcr (В) dB.
339
Подставляя сюда (11) и используя (10), нетрудно получить
In 0 (и) = Ф (0) - Ф (xw). (29.12)
Следовательно, единовременные стационарные корреляторы весьма просто
выражаются через функцию Ф (.г). В самом деле, принимая во внимание
формулу (1.6), из (12) получаем
(Bai, .. ., Ват) = ^у.т-^дт Ф (х)/дха1, . ..,дхат (29.13)
при х = 0. В частности,
(Ва) -- дФ/дха прих^О. (29.14)
Эти точные формулы являются неравновесным обобщением (2.24).
Если вычислять корреляторы, соответствующие "скошенному" распределению
(5), то в (13) и (14) не следует полагать х равным нулю:
(Ва)х = - дФ (х)/дха, (29.15)
(Bai, ..., В*т)х = - х"-1 дГФ (x)/dxai . .. дхат. (29.16)
В том случае, когда параметр интенсивности шумов х мал и
когда функция гУ (В) - Вх имеет единственный минимум, средние значения
(15) близки к значениям Вх, получаемым из условия (8) экстремума
плотности вероятности (5). Отсюда получаем, что при указанных условиях
функции d*F (В)/дВ и -<ЗФ (х)/дх являются асимптотически взаимно
обратными и что функции ? (В) и Ф (х) приближенно являются
преобразованием Лежандра друг от друга. В частности,
Ф (х) = ? (Вх) - хВх (29.17)
(<3XF (Вх)/дВ - х). Данное равенство доказано в приложении 1. При этом
справедливо равенство
I д^?/дВа дВ& Ц-1 = - I <Э2Ф (х)/дха dxfl ||. (29.18)
Вследствие (18) формулу (Ва, В$)х = -хд2Ф/дл-аД|з, получаемую из (16) при
т = 2, можно записать так:
I(Ва, Вр)х\\ = к\\д^(В)!дВадВ^ (29.19)
при В-= Вх. Данное равенство можно получить также путем гауссовой
аппроксимации распределения (5). При этом предполагается, что в точке Вх
матрица д2Т 1дВадВ$ является положительно определенной. В отличие от
(13)-(16) формулы (17)-(19) являются асимптотическими.
4. Н-теорема. Пусть движение в рассматриваемой системе характеризуется
феноменологическим (макроскопическим) уравнением
А = / (А). (29.20)
Это уравнение, особенно когда шумы не слишком малы, нуждается в
уточнении. Предположим, что правая часть (20) имеет следующий точный
смысл:
/а (А) = J Ка (В) wx (Л) (В) dB, (29.21)
340
где зависимость л- (Л) обратна зависимости А = -дФ (х)/дх, т. е.
зависимости (15), и где
К"(В) = Um (ABjAt)B
А1-+0
- коэффициент сноса. Эго значит, что производная А в (20) понимается как
результат усреднения производной В, причем усреднение ведется не при
фиксированном значении А, а при фиксированных силах х (Л).
Введем функцию
? (Л) = Ф (х (Л)) + Ах (А) (29.22)
(Л (х) - -<ЭФ (х)/дх), где х (Л) имеет тот же смысл, что и в (21), как
преобразование Лежандра от Ф (х). Если справедливо равенство (17), то ?
(Л) совпадает с ? (Л); если (17) несправедливо, то ? (Л) отличается от ?
(Л).
Из определения функции (22) и из равенства Л = -<ЭФ (х)/дх вытекает
формула
0? (А)/дАа = хп. (29.23)
Дифференцируя функцию (22) по времени, имеем
(учтено (20)), или, в силу (23), d'Y (A)!dt = xafa (А (х))
при х х (Л). Используя (21), отсюда имеем
d?(A)/dt = хаJ Kx(B)wx(B) dB при х = х (Л)
или в обозначениях (5.32)
dW (A)/dt = хака(х) при х = х (Л). (29.24)
Принимая во внимание (5.31), где вместо Р нужно взять у,-1, а
также (5.32), равенство (6) можно записать в форме разложения
ОО
?,(т!FV-" (В))Л = о
или, если учесть (3.18), хаяа(х)-f
оо
+ Е Jim (At)~l (АВсН ... ABaj^xxa .. . х^ = о.
т=2 А*-*0
341
Следовательно,
*ах*(*) = - lim(A0"'(f; [т\ух %'т{хаМЗа)т\ =
\т=2 ! х
= - lim х (Д^)-1 (g (хАВ/к))х, (29.25)
Д г*-О
где g (г) == ехр г - 1 - г -¦ неотрицательная функция, строго
положительная всюду, кроме точки z = 0. Учитывая эту неотрицательность,
из (25) имеем
хаха (-г) < 0
и, следовательно, для производной (24) получаем неравенство
(A)!dt < 0. (29.26)
Здесь знак равенства имеет место только в тривиальном случае отсутствия
флуктуаций.
Данная Н-теорема аналогична соответствующей теореме из § 14. Итак, в
случае открытых систем функция Y (А), изменяясь в силу феноменологических
уравнений, монотонно убывает подобно свободной энергии закрытых систем.
5. Другая разновидность Н-теоремы. Рассмотрим теорему, до некоторой
степени родственную теореме, доказанной в предыдущем пункте. Введем
величину
Я - xj w (В) In [w (B)/wCT (В)] dB, (29.27)
зависящую от стационарного распределения и произвольного распределения w
(В). Величины подобного рода впервые были введены Кульбаком [28]. Поэтому
Н можно назвать энтропией Кульбака.
Нетрудно доказать, что она неотрицательна. В самом деле, вследствие
равенства
In х < х - 1
(знак равенства имеет место только в точке х = 1) имеем
w In (wCT/w) ": w [wCTjw - 1] = wCT - w.
Следовательно,
J w (B) In [шст (B)/w (B)] dB <
< J wCT(B)dB - \w(B)dB = 0. (29.28)
Из (27) и (28) получаем Я 0.
Поскольку, как легко видеть, Н - 0 при w = wCT, энтропия Я
как функционал от w (В) в точке w (В) = wCT (В) имеет минимум.
Энтропия Кульбака (27) меняется во времени, поскольку w (В) меняется в
соответствии с кинетическим уравнением (3). Докажем, что при этом
