Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
(4.2)
+ ¦
1 -а
SRg sin ф cos ф,
Ф" = -pjr-a) ^C0S Ф р+7_+^ К sin ф,
где
SR = 1 - [?2 + (1 + у + Л)21 2 ' Уравнения движения (4.2) допускают
решение I = ф = 0, л = Р cos т (р > 0).
(4.3)
Это и есть принятое за невозмущенное движение вертикальные колебания масс
mt и т2. Первая группа уравнений в вариациях (1,1.11) (? = 0 + и, ф = 0 +
ф, л = Р c°st + к') может быть записана в виде
у* + Q (т, у, Ш а" Р) У = 0,
1 1
(4.4)
у= I- Q =
у + \l COS т
1 - а
р
- а
Р (1 + у + р cos т) 1
1 + у -(- р cos т
а вторая группа (1,1.12) состоит из уравнения
w" + w = 0.
Итак, неустойчивость невозмущенного движения (4.2) определяется неусто
йчивостью тривиального рещения системы (4.4),
60
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
которую в предположении р <; 1 + у представим как
У" + [Qo (r> а> Р) + nQi (Т, т; а. Р) + О (р2)] у = О, (4.5)
где
1 Р
- а
<Ь = т±г
= 2Qi1} cos t, Qi1} =
1 -а
1
Р(1+у) 1 )
1 + у
1 1
р - а Р(1 + у)2 1
(1 + у)*
Собственные значения ац и а>1 матрицы Q0 положительны и равны
со
Т, 2
2(1- a) L Р
1 + у
Y-w
(1 + у)2
+
2 (2а - 1)
Р (1 + V)
I
Однако к системе (4.5) нельзя непосредственно применять формулы [146], п.
V,2.3. Дело в том, что матрица Q в (4.4) и, следовательно, матрицы Q0 и
Qi1* в (4.5) не являются симметрическими; системы (4.4) и (4.5)
"запутаны" линейной подстановкой. Систему (4.5) нужно предварительно
"распутать" линейным преобразованием
У = [S0 (у, а. р) + 'pSi (у; а, р) + О (р2)] v (det S0 =7^ 0, det =^= 0).
В преобразованной системе
v" + [Р0 (у; а, р) + р¦ 2Pi1} (у; а, р) cos т + О (р2)] v = 0 (4.6)
матрицы Р0 и Pi1) будут пример,
вещественными симметрическими, на-
Ро - S01Q0S0 -
и к преобразованной системе применимы формулы [146], п. V,2.3> для
определения границ областей динамической неустойчивости в первом
приближении по р. В частности, для случая, рассмотренного в п. 4.3 (щ -
тп2, 1г = 12, т. е. а = V2> Р = 1), будем иметь те же выражения (3.2) для
"ц (у) и со2 (у), а значит, и те же критические значения параметра у, к
которым примыкают две области основного и одна область комбинационного
резонанса. На вычислении угловых коэффициентов уД, касательных к
названным областям, мы здесь не останавливаемся.
§ 2] СВОБОДНЫЕ, НЕ ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ 61
2.5. Маятник на упругой подвеске в направляющих. Пусть в обозначениях п.
2.4 движение массы гщ стеснено вертикальными направляющими (рис. 8).
Получившаяся колебательная цепь является не свободной (потеряна степень
свободы, отвечающая х) и не целиком упругой. Для кинетической и
потенциальной энергии будем иметь теперь
Т = -L(mi + т2) у2 -f-
+ -4- пг2/2ф2 - sin <р,
! - (5-1)
V = су2 + m2gl2 (1 - cos ф)
и уравнения Лагранжа второго рода суть
(mx + т2) у - тп212ср sin ф -
- тп212ф2 cos ф = -су,
-у sin ф + /2ф = - g sin ф.
Разрешив последние уравнения относительно старших производных, получим
ц" + ц = (1 - a sin2 ф)-1 (аф'2 cos ф - ay sin2 ф - ar\ sin2 ф)
ф" -f уф = (1 - а sin2 ф)-1(-ц sin ф + аф'2 sin ф cos ф - (5.2)
- ау зт3ф) + у (ф - sin ф),
где введены безразмерные переменные и параметры
Л = -т_1-----------t = (o t Г со = Т/^--------?-) ,
к \ Г т1 + тпг ) ' 5 3
т" - . к V • /
а =------------4-<1, у = - .
т1 + тг к
Исследуем устойчивость невозмущенного движения - вертикальных колебаний
Ф == 0, т| - ц cos т (ц > 0). (5.4)
Считая для возмущенного движения ф = 0 + ф, ц = ц cos т + v, получим, что
первая группа уравнений в вариациях (1,1.11) состоит из одного уравнения
Ф* + (У + Р cos т) Ф = 0, (5.5)
а вторая группа (1,1.12) - также из одного: v" + v = 0. Неустойчивость
невозмущенного движения (5.4) определяется неустойчивостью тривиального
решения уравнения (5.5) - уравнения Матье. Последнему посвящена
многочисленная литература; для
О
Рис. 8.
62
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
наших целей достаточно применять формулы (3.3) и (3.4), в случае когда
матрицы Р0 иР[х) суть скаляры у и V2 соответственно. Уравнение (3.3)
определяет критические значения параметра
2<в (уп) = 2 }/~Уп - п> Уп - -^~п2 (и = 1,2,...),
а формула (3.4) даст для угловых коэффициентов касательных к широкой
области неустойчивости в плоскости ру
р( 1)
1
da*
dy
(5-6)
Широкая область неустойчивости в плоскости ру (т. е. с отличным от нуля
углом между касательными) примыкает лишь к точке у = V4 и определяется в
первом приближении неравенствами
+ + + (5-7)
Глава III
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА К КОЛЕБАНИЯМ В СИСТЕМАХ ЛЯПУНОВА
В этой главе рассматриваются некоторые механические и физические задачи.
Математическим аппаратом для определения периодических движений и
описания процесса их установления в тех случаях, когда периодическому
движению отвечает предельный цикл (в фазовых пространствах размерности 2к
2), являются методы малого параметра. Вычислительные аспекты метода
Пуанкаре [107а] развиты в § 1,2, что касается метода усреднения, то здесь
читатель найдет лишь простейшие приложения по Ван-дер Полю [30]. Более
сложные задачи (некоторые из них намечены в § 4) потребуют приложения, а
