Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Впрочем, укороченные уравнения Ван-дер Поля, разумеется, дают лишь первое
приближение решения системы (2.2). Поэтому ограничимся приближенным
интегрированием системы
(2.3). Из второго уравнения (2.3) следует, что при | а | ^ 2Y 2 имеем
йф/сЙ) 0 и будем иметь | ф0 | | Ф | > 0. Поскольку при
| а | ^ 2}^2, в силу (2.1) имеем | ? | ^ 2У 'Ц\г а, где, напомним,
2|/г2/у"а -амплитуда порождающего решения (1.3), то на весь промежуток
переходного процесса (т. е. перехода вертикальных колебаний (11,2,5.4) в
маятниковые качания (1.4) можно положить cos ф ~ 1, если ф0 достаточно
мало. Тогда из первого уравнения (2.3) для а0 = а (0) 0 получим
К
da
У 4 + a2
= -г^
ПРОЦЕСС СРЫВА
77
и после интегрирования найдем In
V 4 + а2 - 2
-4-,ю.
Vi + a20-2
Отсюда следует приближенный закон изменения амплитуды 4Ь"ехр
1 - Ь20 ехр (pfl)
^ = ±.[/4 + 05-2]). (2.4)
Вычислим время перехода вертикальных колебаний при условии их возмущения
(а - а0 0) в маятниковые качания (а = 2\^ 2). Полагая в (2.4) а = 2 Y 2,
для соответствующего значения О находим
Ъ = - \п( У3-1 в°
р
V2 f4 + "!0-2 j'
Заметим, что промежуток времени перехода имеет порядок , О (рГ1), что
соответствует алгоритму асимптотического интегрирования в методе
усреднения. В силу малости ф0 получим а0 ж ж ? (0). Последняя формула для
малых а0 примет вид
(r) = J-In 2 У2(Гз-1)
р С(0)
С помощью формул (1,1,2.3) выразим ? (0) через начальные значения
исходных переменных
s-т-р=vч'+(S)1 ¦ E<°)"f(")["!<o)+"-(if):f.
Для времени переходного процесса (время перекачки энергии
1 1
при критическом значении у = (т. е. X -12) имеем
= У ,П1\т*Ъ +О{i).
Величину р можно определить из выражений (11,2,5.1),
(11,2,5.3) и (1.1)
И - - Д- V0)c,
или, считая поперечное возмущение <р (0) достаточно малым, из формулы
(11,2,5.4).
78
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
[ГЛ. III
§ 4. Периодические режимы маятника на свободной упругой подвеске
4.1. Преобразование уравнений движения. Разложим правые части системы
уравнений (11,2,4.2) в ряд по степеням переменным и запишем (11,2,4.2) в
виде
г)" + х\ = У (г), |, ф, ф'),
^ + (1 -a)V(l +Y) 1-a ф = ^('П'^'Ф'Ф )> (1-1)
ф" - (T^)fr+^)p S ф = ф {Т1'Е'ф' ф,)'
Здесь штрих означает производную по т, а разложения функций У, X и Ф
начинаются с членов не ниже второго порядка. Корни характеристического
уравнения линейной части суть + го>А, =F гю2" где
= 2(l-aHl+v)P
Х________________________________________________________________________
__________________
X [1 + У + Р + V'(1 + Y + Р)" - 4Р (1 - a) (1 + у) j •
Поскольку 0 < а < 1, а р _> 0, у у 0, то
О < (1 + у + Р)2 - 4 (1 - a) (1 + у) Р < (1 + Y + Р)2
и, следовательно, ю2 и ш2 положительны.
Интеграл энергии (1,1,2.2) имеет вид
т]'2 + Y + Г2 + j-fy Е2 + арф'2 + 2арФГ + 5, = р2. (1.2)
Подстановка (1,1,2.3) запишется теперь как У = р cos'd, I] = р sin d,
Е = PZli ф ~ Pz2> Е = pz3, ф = pz4> и мы получим ИЗ (1.2)
р = р ^1 у -j-yy z2 + Z3 у 2apz3z4 у ap2z|j -j- 0(p2). (1.3)
Выпишем теперь систему уравнений (1,1,2.9)
rf2zi , V aY т \
Ш2 + (1 -а)(1 + у) Zl i_az2 -°(Р)"
d2Z-2 у у П! \
р (1-a)(l+V)Zl Р (1 -• а) ^2
(1.4)
§ 4] ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕЖИМЫ МАЯТНИКА 79
4.2. Периодические решения. Общее решение для порождающей (т. е. при р =
0) системы (1.4) есть
zio = tv - coi (1 - а) р] (Мг sin соД} + М2 cos со^О) +
+ [7 - "Da (1 - а) р] (М3 sin "Пай1 + Mi cos сдай1),
z2о = ^ ^ (Mi sin coift + М2 cos coift + M3 sin co2ft + M4 cos со2Ф).
Если подставить эти значения в выражения у = 1гр sin ft, х = = lipzj, ф =
pz2 и (1.3) и учесть, что в силу второго уравнения
(1,1,2.4) '0' = т + О (р), то получим следующее приближение для
периодического решения системы (11,2,4.1):
у = рliF (т) sin т + О (р2),
х = p^jF (т) {[у - Ро>1 (1 - a)] (Mi sin g^t + М2 cos а^т) +
+ [у - со2Р (1 - ")] (M3sin со2т + Mi cosco2t)} + О (р2),
Ф = р Р (т) (М1 sin Wit + М3 cos СО1Д: +
+ М3 sin со2т + М4 cos со2т) + О (р2),
где
F (т) = (1 +уу2 (1 + у)-2 {Р (1 -а) (1 +у - Р) [а>1 (М\ +
+ Ml) + со2 (М\ + Ml)] - у (1 + у - р + 2сф) (Ml + М\ +
-|- М3 -f- M'i) -f- (r)Ру (Mi sin (о^т -f- М2 cos со-^т -f- Af3sin со2т -|-
+ Mi cos со2т)2})-'Ч
Здесь т = Y°l(mi + тд (t - a определяется из начального значения
приведенной энергии (1.2). Исследование первого из уравнений (1,2,1.4)
(уравнения' для порождающих амплитуд) определит критические значения
параметров а, р, у, для которых порояедающие амплитуды Ми Мг, М3, М4
зависимы (что будет соответствовать предельным циклам). Для всех
остальных значений параметров а, Р, у найденное периодическое решение,
как содержащее шесть произвольных постоянных Мъ М2, М3, М4, t0 и р, будет
общим для достаточно малых р 0.
Глава IV
КОЛЕБАНИЯ В ВИДОИЗМЕНЕННЫХ СИСТЕМАХ ЛЯПУНОВА
§ 1. Системы Ляпунова с демпфированием
Невозмущенная нелинейная автономная система ляпуновского вида (2к + 2)-го
порядка возмущена аналитическим и достаточно малым по норме
демпфированием. Проводится преобразование возмущенной системы, при
котором невозмущенная система может быть преобразована в квазилинейную
