Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Старжинский В.М. -> "Прикладные методы нелинейных колебаний" -> 22

Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.

Старжинский В.М. Прикладные методы нелинейных колебаний — М.: Наука, 1977. — 256 c.
Скачать (прямая ссылка): prikladniemetodi1977.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 87 >> Следующая

периодическую с любым натуральным р. Поэтому решение (2.3) будет
порождающим для 2рл-периодиче-ского решения уравнения (1.6) тогда и
только тогда, когда
qT(y) = 2pn или у = , *----, (2.4)
у ' -1
где plq - любая несократимая неправильная дробь.
Итак, уравнение (1.6) допускает периодические решения с наименьший
периодом 2рп (р = 2, 3,...) только лишь для значений относительного
удлинения у = к/l, определяемых формулой (2.4). Любое положительное
рациональное число либо выражается формулой (2.4), либо может быть
приближенно представлено ею с любой степенью точности.
Уравнение (2.2) с учетом (2.3) и (2.4) запишется в виде
51 г. - _ № ~ ^ I м ч л , м е5т1 Л
r + -yrZi = ~- J* (A/0cos4-ft +AVsin^l}) X
dW 1 р2 ^
х it1 + -р-Sin0 + [l +-?¦ {Ml + Nl)\~1U X
Г p2_4"2 ( Ml + Nl Ml - Nl 2a 2a A
X (-V-^ + - 2 cos -7-* + sin_l^)x
X sind |^Л/0У0 cos H -- sin-~ cosdj ^
(2.5)
ПРОЦЕСС СРЫВА ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ
67
и представляет собой уравнение для определения первой поправки по р 2ря-
периодического решения уравнения (2.2) (р-2, 3,...).
Неоднородная часть уравнения (2.5) содержит тригонометрические функции 0
с круговыми частотами
(") Ы, (б) (в)?±1, ?±11.
Выясним, когда одна из этих частот совпадает с круговой частотой
порождающего решения:
(*) P = 2,q = l,y = ±-,
(б) = JL, р = 4, g==i, т =
2,g = l,Y = 4.
В случае (в) такое совпадение невозможно. В случаях (а) и (б) уравнение
(2.5) допускает 2ря-периодические решения при указанных р не для всех
значений М0 и No, а лишь для тех, при которых уничтожаются члены с sin
(qft/p) и cos (qft/p) в уравнении
(2.5). Уравнения для "порождающих амплитуд" при у = -д (р =
= 2, q = 1) суть
N0 (4-2 Ml + Nl) = О, М0 (4 + М%- 2 Лф = О
и дадут ненулевые решения: М0 = ±2, N0 = ±2. Из (2.3) получим тогда
?o = ±2/2'cos(-|-0 + -i-3t) ' <2'6)
т. е. единственное значение порождающей амплитуды, равное 2\f 2 при
четырех значениях порождающей начальной фазы.
В случае Y = -jg- уравнения для порождающих амплитуд обращаются в
тождества. Поэтому при всех остальных значениях у в (2.4), кроме у = -д-
, формула (2.3) доставит семейство порождающих решений уравнения (1.6) от
двух параметров.
Остановимся в заключение на случае (а), при котором уравнение (1.6)
допускает периодическое решение с наименьшим периодом пой1, равным 4я. Из
формул (1,1,2.4), (1,1,2.7), (1.5) и (2.6) имеем
Р = -^=гр + 0(р2), = 1 +-^-|р^ц(1 + sin й) sin й + 0(р2),
" .- , (2.7)
t - ^ 1 - ~ g - р (1 + sin й) sin й -|- О (u2) J йй.
¦&о
3*
68
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. III
Отсюда будем иметь для периода качаний массы на пружине
1
с относительным статическим удлинением у =
rjl ____
ш
[l + т М- + о О*2)] = 2Гве1)Т [l + м- + о (р2)] ,
а для закона движения
2 / 1
X = + -д- >^6 Zp cos coi + -j-j + о (p2),
у = 4-1^3 Zp sin coi -(- О (p2).
(2.8)
3 \r 3 равен
Заметим, что период колебаний жесткого маятника длиной -^-1 = и
размахом, определяемым первой формулой (2.8),
= 2Л У "W 11 + °^а)] = 2Гверт[1 + 0(р2)].
Отметим также, что из второй формулы (2.8) следует, что при качаниях
пружинного маятника на долю вертикальных колебаний
приходится - [1+0(р2)] энергии всего движения.
1.3. Третий этап. Переходим к исследованию процесса срыва
вертикальных колебаний. Поскольку у = у есть единственное
значение параметра у, при котором вертикальные колебания неустойчивы для
сколь угодно малый значений их безразмерной ам-
1
плитуды р = Y/1 и поскольку у = -g- отвечает периодическое дви-
жение (2.8), то естественно положить в уравнении (1.6) у -
и исследовать его решение при достаточно малых начальных значениях t (0)
и ?' (0). Итак, рассмотрим уравнение
+ тг+(-&)'Г-
-[1 + 4-Г + + О ([.¦). (3.1)
Подстановка Ван-дер Поля [30]
? = acos(-|-G + q>), -Ц- = - 4_asin(4'0 + cp)
§ 1] ПРОЦЕСС СРЫВА ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 69
приведет уравнение (3.1) к эквивалентной системе относительно медленно
меняющихся переменных а и ср:
Ж = '-Ш >"* [V1 + а2 sin 0 -
jj- a2 ( 1 + а2^ 2 sin (й Ч- 2ф) cos sin (й +¦ 2ср) + О (р.2),
5-==i(A[l/Al+^a2sin^~
g-a'2^l + 'l_a2) + 2ф)со8$^ [1 + cos(l> + 2ф)] + ^(l12)-
Усредняя по явно входящему независимому переменному й, получим
укороченные уравнения Ван-дер Поля
~ж = i ^ 1/4 + a'l cos 2(p + 0 (n2)>
(3.3)
ж = mv vfSrSin2cp + (?(|A2)'
Разделив первое из уравнений (3.3) на второе и проинтегрировав, получим
а ф
4- 5 airTWda = \ctg 2cpd(p + 0 М*
Gq Фо
Выполняя интегрирование, найдем первый интеграл укороченных уравнений
Ван-дер Поля:
a4 sin2 2ф = с2 (4 Ч- а2)3 + О (р) (^с2 = sin2 2ф0 j .
Однако подстановка этого интеграла в первое из уравнений (3.3) приводит к
необозримым квадратурам. Впрочем, укороченные уравнения Ван-дер Поля,
разумеется, дают лишь первое приближение решения уравнения (3.1)
(дальнейшие приближения определяются по методу последовательных
приближений Пикара с вытекающими из него оценками точности). Поэтому мы
ограничимся приближенным интегрированием системы (3.3). Из второго
уравнения (3.3) следует, что при | а | ^ 2^2имеемйф/(2д,^0и будем иметь |
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 87 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed