Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Уравнение (2.2) при а - у/(1 + у) и р = (1 + у)-2 переходит в уравнение
(1,1.6), и определяет аналогию с § 1. Используя эту аналогию, получим,
что уравнение (2.2) допускает периодические решения с наименьшим периодом
2рп (р = 1, 2, ...) только лишь для значений а = q2/p2, т. е., в силу
(1.4), для
где q и р -любые взаимно простые числа. Множество значений п,
определяемое формулой (2.3), всюду плотно на интервале (0, 1) изменения
п, иначе говоря, каждое значение п ?= (0, 1) либо определяется формулой
(2.3), либо может быть представлено ею с любой степенью точности. При
всех значениях п в (2.3), кроме п = 1/5 (q = 1, р - 2), формула (1,2.3)
доставит семейство порождающих решений уравнения (2.2) от двух
параметров.
Остановимся в заключение на значении и = 1/5 - единственном значении п,
при котором порождающее решение уравнения
(2.2) имеет вид (1,2.6) и для которого чисторадиальные колебания
(1.6) неустойчивы при сколь угодно малой их амплитуде р. (см.
(1.7)). Аналогично (1,2.7) получим
В (р, Ф, Zi, z2) =--------------1- pZl2 cos d, (c) (р, Zi,
z,) = Pz2 sin d,
Zi (p, Zj, z2) = Pzi cos |
Z2 (p, zi, z2) = - pzx sin Ф Pz2z2 COS-&.
(2.1)
+ aC = - pPU/l + a?2 + ?'2 sin ft +
+ (1 +a?2 + С'2)-'Ь ? sin О - -f - С' cos йЩ
+ О (p2). (2.2)
P = I1 -г О (p2),
1 + -^"1^3pp (1 + sin Ф) sin Ф + 0(p2).
74 ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА [ГЛ. III
Отсюда будем иметь для периода вертикально-радиальных колебаний при п - -
g-
Т =------ 1 ^ |Ч -f ЗРр. (1 -h sin ft) sin ft + 0 (|x2)J 1
dft =
"К1-} 0
= ^-^[1 + Ауз^ + 0(^)], (2.4)
а для закона движения аналогично (1,2.3) будем иметь
I = ~y /3 |х sin + О ((х2),
ft = р? = ±-§-/б|1 cos (-тр- at + + о ((X2). (2.5)
Величина (х определяется по начальному значению приведенной
энергии (1.5) колебаний.
2.3. Третий этап. Перейдем к описанию процесса перекачки энергии при п -
1/5, т. е. переходного процесса от неустойчивых чисторадиальных колебаний
(1.6) к вертикально-радиальным колебаниям (2.5). Укороченные уравнения
Ван-дер Поля будут иметь вид (1,3.3) с заменой множителей 9/64 и 9/128
соответственно 1 1
на-^-Р и -g- р. Аналогично п. 1.3 определится закон изменения амплитуды
Ван-дер Поля
( 1 \
4Ь0ехр {-j- Ppd j / 1 fiA--? о1\
а =--------------- L [b0 = - [Vi + al~2\) (2.6)
1 - b2exp((5|ift) ' 0 '
Время t переходного процесса от чисторадиальных колебаний
(1.6) к вертикально-радиальным (2.5) при п = 1/5 определится из формул
г = -S' [(4 +"Г У3 №)ъ + О Ох) ] , (2.7)
где
р=А_^, 8-
4 ш Р(г S (0)
Ц0) = т!(0)[е2(0)+ -|-аГ*|*(0)]'1',1
а величина (х определяется по начальному значению приведенной энергии
(1.5) колебаний.
§ з] процесс срыва 75
§ 3. Процесс срыва вертикальных колебаний маятника на упругой подвеске в
направляющих
Первый этап решения приведен в п. 11,2.5. Исходным периодическим режимом
являются вертикальные колебания (11,2,5.4).
3.1. Определение нетривиальных периодических режимов (второй этап).
Используя формулы (11,2,5.1), (11,2,5.3), приведем интеграл энергии к
виду
(-Й-)2 + ^ + а (-ЗГ)2 +2а? -cos *) -2а sin * 5 % = ^-1)
Разложив правые части системы уравнений (11,2,5.2), а также левую часть
интеграла энергии по степеням переменных, получим
¦S- + T' = a(^)2-aw2 + [31' 5 +W = -ЧФ + ГЗ], )2 + *? + aw2 + "(It)2 +
f3i = ^
Сравнивая это с (1,1,2.1) и (1,1,2.2), по формулам (1,1,2.6) находим
R = a (-¦yz2 + Z2) cos Ф + О (р), 0 = a (yz2 - z2) sin Ф + О (р), Zi = a
(yz? - zxz2) cos Ф + О (p),
Z2 = - zxsin + a (yz?z2 - zjj) cos# + О (p).
Система уравнений (1,1,2.9) в рассматриваемом примере сводится к одному
уравнению (z1 ==?,?' = dt!/d'd):
^ + у? = р { - ? sin О /1 + a (yS* + S'") +
+ a [1 + a (y?2 + S'2)]-1^ [2? sin О (y2?2 + ?'2 - 3y?'2) +
+ Гсо8#(5у?2-НП + 0(р2). (1.2)
Проводя вычисления аналогично пп. 1.2, 2.2, с помощью метода Пуанкаре
[107а] получим порождающее периодическое решение при критическом значении
параметра у = 1/4
So = ±2 |/JLcos (4-* + -T'It) • (1>3)
Отсюда и из формул (1,1,2.7), (1,1,2.3), (11,2,5.3) для периодического
решения, отличного от вертикальных колебаний, т. е. для маятниковых
качаний, находим
y^-L^psinj/ -g-^f + ooi"), (14)
v = ±-tY'T'icos{-tV *TT^+^r) + 0(fx2)-
76
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
[ГЛ, III
3.2. Исследование переходного процесса (третий этап). Подстановка Ван-дер
Поля [30]
= + (2Л)
t. а ( 1
t = 77=C0S V "
приведет уравнение (1.2) при у = к эквивалентной системе относительно
медленно меняющихся переменных а и -ф:
da
= ра | j/" 1 n2 sin й sin (й + 2tJj)
a2 sin й sin (й -f- 2ф) a2 cos й
• -i- a2 cos -O' cos (0 + 2ф) -f- -jj- a2 cos 0 cos2 (0 + 2tJ?) 1 + 0
(p2), (2.2)
dip
= p 1 4-fl2 sin 'O' [1 + cos (0 -f- 2ф)] -
1 +
¦ a2 sin й (1 cos (й -f- 2ф))
a2 cos Ф sin (г'} + 2ф) -a2 cos 0 sin (2-ft + 4ф) J -f 0 (p2).
Выпишем укороченные уравнения Ван-дер Поля, усредняя по явно входящему
независимому переменному
da
dft
d$
- pa У 4 + a2 cos 2ф -f- О (p2),
a* - 8
(2.3)
¦И-
Y 4 + a'
-Sin 2тр -Не-
точное решение уравнений (2.3) приводит к необозримым квадратурам.
