Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
неавтономную систему 2/с-го порядка. Предполагается известным ее решение
для достаточно малого по сравнению с единицей корня квадратного из
начального значения приведенной энергии системы. Для первой и последующей
поправок соответствующего (т. е. с теми же начальными условиями) решения
возмущенной системы составляется полная система уравнений в вариациях по
параметру Пуанкаре - неоднородная система линейных дифференциальных
уравнений (2к + 1)-го порядка с переменными коэффициентами. Если известен
общий интеграл невозмущенной системы, то интегрирование системы уравнений
в вариациях согласно Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II) сводится к
квадратурам. Последние три пункта посвящены примерам.
1.1. Преобразование уравнений движения. Рассмотрим класс систем Ляпунова
с демпфированием, описываемых уравнениями второго порядка каждое:
d2u * • ...
-\-u-U {и, и, Vi, ... , vk, vu . . . , vk) = - 2eE0 (и, vu .. ., vk),
(1.1)
cl4y . . ..
+ aXlVi + .. . + axkvu - Vx(u,u,Vi, . . . , vk, vlt .. . , vk) =
= - 2sFx(u, Vi, . . . , vk) (x = 1
Здесь точка означает производную по т, ajX = axj (х, / = 1, . .. к) -
вещественные постоянные, a U, Vlt . . Vk, Е0, Fr, . . . . . ., Fh суть
вещественные аналитические функции своих переменных, разложения F0, Fu .
. ., Fh начинаются с членов не ниже первого порядка, а для U, Vv . . .,
Vh -не ниже второго порядка,
СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА С ДЕМПФИРОВАНИЕМ
81
наконец, в 0. Будем предполагать, что невозмущенная система (1.1) (т. е.
система (1.1) при е = 0) допускает первый интеграл, который необходимо
будет аналитической функцией переменных и, й, vu . . ., vk, vly . . ., vk
([77a], § 38; [796], гл. VII, § 1)
H = й2 -f- ua -f- W (vlt . . ., vk, tfj, . . ., i'k) -f-
+ S3 (и, й, vv . . ., vk, . . ., i>k) = p.2 (p > 0), (1.2)
где W - квадратичная форма, a S3 - совокупность членов не ниже третьего
порядка. Для выделенных сил сопротивления F0, FL, ...
. . ., Fk будем предполагать, что их работа на любом возможном
перемещении (совпадающем в рассматриваемом случае с одним из
действительных) отрицательна
к
- F0 (и, vu ..., vk) и - У FK (й, Vi,, vk) vx < 0. (1.3)
x=l
В простейшем нелинейном случае, когда Fj = F (vj) (j = 0,1, . .. . . .,
к; v0 = й) условие (1.3) означает, что aF (а) >0 (а4 0). В линейном
случае условие (1.3) означает, что диссипация полная. Подстановка
Ляпунова
й = р cos •&, и = р sin •& (р > 0),
Vy pZx, у рZk+y (к - 1, . . ., &)
приведет систему (1.1) и первый интеграл (1.2) невозмущенной системы к
такому виду:
JA А
= 1 - - U (р sin •&, р cos •&, pz) sin •& -j-
-f- 2e -i- F0 (p cos pz<2>) sin •&,
= U (p sin •&, p cos •&, pz) cos •& -
- 2s - F0 (p cos d, pz(2)) cos •&,
(|Л>
¦ = Zk+X - - ZyU (p sin ¦&, p cos •&, pz) cos •& -f-
+ 2e - zxF0 (p cos •&, pz<2)) cos •&,
P
dz \
-!L±1- = _ ayizx - ... - aKkzk - zk+KU (p sin ft, p cos ft, pz) cos ft +
dx P
\
-1 Vу (p sin ft, p cos ft, pz) -f-
P
-f- 2e - zk+yF0 (p cos ft, pz<2>) cosi'I - 2e- FK (pcos ft, pz<2>)
P P
(x = l,...,fc),
p2 [1 + w (z) + pS (p, ft, z)] = (1.6)
82
ВИДОИЗМЕНЕННЫЕ СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА
[ГЛ. IV
Здесь z и z(2> суть векторы соответственно с компонентами zx, . . ., z2k
и zit+1, . . z2k, a S = p~3s3. Предположим для дальнейшего, что в
параллелепипеде | z | ^ 6, 0 ^ р г0 и при любом Ф Ф0 для всех е ее [0,
е0] выполнено неравенство
1------ [U (р sin 'O', р cos -O', pz) - 2eF0 (p cos -O', pz(r))] sin ft 0.
(1.7)
При условии (1.7) разделим второе и последующие уравнения системы (1.5)
на первое:
rfp U cos О - 2eF0 cos ft
1 - p_1 (U - 2e^0) sin O' dz* z/c+x - P'4 (u ~ 2e^0) cos О rfO "" 1
- р-!(С/ -2e^0)smO ' O- '
= [1 - P_1 (U - 2eF0) sin H]-1 (- aXtzx - axkzk -
- p-'zn^U cosfl + p_1Fx + 2ep~1z/c+xF0 cos * - 2гр~1Рх)
(x = 1,. .. ,k).
В § I, 1 невозмущенная система (1.8) (т. e. при e = 0) за счет
использования интеграла (1.6) сведена к квазилинейной неавтономной
системе 2к-то порядка; ее решение определяется в гл. III методами малого
параметра для достаточно малых ц ^>0 в (1.6).
1.2. Полная система уравнений в вариациях по параметру Пуанкаре и ее
решение. Запишем систему уравнений (1.8) в виде векторного уравнения
-|j. = f(0,x;8), (2.1)
где х - вектор с компонентами р, zx, . . ., z2h, a f - вектор-функция,
составленная из правых частей системы (1.8), аналитическая по х и
е в области определения (1.7), а коэффициенты степенных
рядов по р, zx, . . ., z2h1) суть периодические функции И
периода 2я.
Допустим, что нам известно некоторое решение х0 (О) нсвозму-щенной (т. е.
при е = 0) системы (2.1):
4^ = f(fl,Xo;0). (2.2)
Основываясь на теореме Пуанкаре ([107а], т. I, гл. II), будем искать
решение системы (2.1) для достаточно малых положительных значений е в
виде
со
X = 2 emxm(fl). (2.3)
771=0
х) В дальнейшем положим 2к + 1 = п и будем считать, что п - любое
натуральное число.
СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА С ДЕМПФИРОВАНИЕМ
83
Вычитая из уравнения (2.1) тождество (2.2) и используя формулу Тейлора
для функции многих переменных, получаем
