Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
= 0 + lk, ук = ук0 (t) + %: к = 1, . . ., N)
fkj-J-V Г-'\ * 1
dt2 ^ тк2^1\д±1 /" dt -г \3*4a*k;0 Si
= 0,
,
dt2 т
i=l
N
Г(dRN+k \ /J!L\ ¦
2jL\ ду. )0 dt +\дурУк)^\
о,
или, в развернутой записи,
?%с N
dfi
i=I
+ (^f)o ~ Pki1 ~ \} + Vk+ _ 2/'C"1' °^1 IX
i=l
X (Ejc-i - Efr) + P-ff+iPff+i |l - j^l + Vk+i + ~[-{Ук+1, о (0 -
I/fco(0)j j- X
Х(Е*-Е*ы) = 0, (4.5)
d^k 1 /^/V+k \ dt\'
+ \~W~)0 ~dt - PM*-1 + (Pk + V-toiPfri) % -
"=i 1
' Hk+lPjc+l^Jc+l = 0 (4-6)
(k = 1,..., N).
Заметим, что эти уравнения выписаны, несмотря на то, что вопрос об
устойчивости в большом нижнего положения равновесия при выполнении
условия (1.1) решен теоремой п. 1.3. Имеются в виду, во-
первых, случаи невыполнения условия (1.1)
(например, при частичной диссипации), во-вторых, использование уравнений
(4.5) - (4.6) для суждения об устойчивости невозму-
СВОБОДНЫЕ, ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
47
щенного движения (4.2) и, в-третьих, отсутствие сил сопротивления. К
этому консервативному случаю мы и переходим.
1.5. Консервативный случай. При отсутствии сил сопротивления свободная
целиком упругая колебательная цепь будет консервативной системой.
Отклонения ук0 (t) ее масс от нижнего положения равновесия при
вертикальных колебаниях (нёвозмущен-ное движение) удовлетворяют системе
(4.3) при Rn+k = 0 (к = - 1, . . ., N) (описывающей малые колебания
штурмовых систем [36]). Уравнение частот о этой системы оказывается
вековым уравнением некоторой якобиевой матрицы
- (Pi + Ра га) ЧгРг 0 . . 0
РзРз (о2 -(гг + Рз^з) РзРз • • 0
0 0 0 . . ш2 - pN
Уравнения (4.5) из системы уравнений первого приближения возмущенного
движения при R; = 0 (/ = 1, . . ., 2N) будут иметь либо периодические
коэффициенты, если частоты а>1, . . ., Wjv соизмеримы, либо почти-
периодические -.в противном случае. Исследование устойчивости
невозмущенного движения в обоих случаях является довольно сложной
задачей.
Исследование облегчается тем обстоятельством, что в консервативном случае
все решения системы (4.6) ограничены. Это следует из положительности
собственных значений выписанной выше якобиевой матрицы. Ограниченность
решений может быть установлена и непосредственно, для чего запишем
систему (4.6) при Rn+i = Rn+2 = . . . = R%n = 0 в виде
сЛц
= РкЧк-1 - (Рк + P/c+lA+l) Чк + ЦылДм-Лт (k=l,...,N).
Рассмотрим определенно-положительную квадратичную форму переменных т^, .
. ., r]jv, Pi, . . ., Piv с постоянными коэффициентами
N
и = • •Р/ЛЫЛ/с - Чк-if + Т1*1 (1*1 = 1. Ло = 0).
к*=1
Производная ее, взятая в силу выписанных уравнений, равна нулю, что и
устанавливает ограниченность решений.
1.6. Устойчивость вертикальных колебаний пружинного маятника.
Однозвенная свободная, целиком упругая колебательная цепь представляет
собой математический маятник массы тп на
48
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
пружине длиной I в ненапряженном состоянии и жесткостью с (рис. 3).
Система уравнений (4.3) сводится к одному
тУо + сУо = О-
и мы будем иметь для невозмущенного движения
х = 0, у = y0(t) =Ycosa>t (а =
Уравнения в вариациях (4.5) и (4.6) запишутся в виде
?+(r)2
1 -
1 + у + - Y cos cot
| = 0, r\ + со*!] = 0- (6-1)
Заметим, что выполнение условия (1.8) не является внутренним свойством
самой механической системы и выбранного невозмущенного движения, а
определяется также и выбором лагранжевых координат. Если в
рассматриваемом примере перейти к полярным координатам, то будем иметь
Т = ^-т( PV+ Р2),
V = -fc(p -If
mgp cos ф,
Рис. 3.
и уравнения Лагранжа при отсутствии сил сопротивления запишутся в виде
р*Ф + 2ррф = - gpsin ф,
С
т
рф
¦^¦(Р - 0 + ?СО8ф.
Принятое за невозмущенное движение вертикальное колебание массы т
выразится теперь в прежних обозначениях как
Ф = ф0 = 0, р = Ро (t) = I + А, + Y cos соt.
Формула (1.5) даст для коэффициента bn (t) значение
feu (t) = 2m.p0p0 ф О,
что и означает нарушение условия (1.8). Уравнения в вариациях для
возмущенного движения (ф = 0 + Ф, р = р0 (0 + Р) примут в полярных
координатах вид
<г2Ф
u suit
<гФ
rTv .
СВОБОДНЫЕ, ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ
49
Как видим, появление члена с первой производной в уравнениях в вариациях
возможно и в консервативной системе.
Возвратимся к декартовым координатам и, вводя безразмерное время т = (at,
запишем дифференциальные уравнения возмущенного движения в виде
d2\ , y + Most t , r0l п d2r\ , " , r0l п d^+l + Y + pcosT 5+И-и>
Здесь, как и выше, у и р, означают безразмерные параметры, выражающие
отношение статического удлинения и амплитуды вертикальных колебаний к
недеформированной длине пружины
к У
У = Т' >*=Т'
а [2] - члены второго порядка малости.
Устойчивость либо неустойчивость тривиального решения уравнений в
вариациях (6.1) определяется таковой для первого из уравнений (6.1).
Однако в рассматриваемом консервативном случае устойчивость тривиального
решения системы (6.1) не определяет вообще устойчивости невозмущенного
движения по отношению к переменным х, у, х, г), так как имеет место один
из критических случаев. Неустойчивость же тривиального решения системы
