Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
для всех t, не меньших некоторого t0. Условия (1.7) -(1.10) означают, что
матрицы-функции коэффициентов системы (1.4) имеют вид
40
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
Уравнения в вариациях (1.4) при выполнении условий (1.7) - (1.10)
разбиваются на две группы из т и п - т уравнений
\~х г (Pw, ¦ / dR \ dv, ¦ "I
Xj [(а^° ~dV + \ Щ) о ~dt + Cvi ^ Xi] =
i=l
0
(v = 1, ..., m),
fdR" \ dv..
г cPy.; / dR \ dv.- 1
XI [(avi)° + (в4г)0¦* + Cvi ^Xij
i=m+l
(v = m + l,...,re).
(1.11)
(1.12)
1.2. Определение положений равновесия. Простейшим примером
"колебательной цепи" будет свободная, целиком упругая колебательная цепь
относительно вертикальных колебаний (т. е. когда за невозмущенное
движение принимается вертикальное
колебание названной системы). На рис. 2 представлена система N
материальных точек с массами тх, . . ., wijv, последовательно соединенных
N пружинами (массой которых пренебрегаем) с жесткостями clt . . cN и
длинами в ненапряженном состоянии 1Х, . . ., Zjv- Начало первой пружины
закреплено в точке О, начала каждой из последующих прикреплены к
невесомым шарнирам, оси которых перпендикулярны к вертикальной плоскости
Оху, что обуславливает плоский характер движения. Таким образом, на
систему наложено лишь N тривиальных связей: zx = 0, . . ., z,\ = 0 и за
2N лагранжевых координат примем хъ . . ., xN, у'ъ . . ., -
декартовы координаты материальных точек mv . . ., тн- Кинетическая
энергия Т в этом простейшем случае
14
±^mk(±l + у;-),
К=1
§ 1] СВОБОДНЫЕ, ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ 41
т. е. а1} = mfii) (бгз- -символ Кронекера; г, / = 1, . . ., N). Вычислим
потенциальную энергию V (xv . . ., х^, у[, . . ., ум) линейных сил
упругости пружин и сил тяжести
N J
у = Yj {" В(tm)#'* + ~т с* К** - Хк-^2 + ~ yfe-i)2 ~
k=1
- 2h V(хк - X)!-iY + (ук - J/^)2]} , (2.1)
считая х0 = у'" - 0 и рассматривая всюду лишь арифметические значения
корня. Начнем с определения положений равновесия системы, для чего
рассмотрим систему
faT - - скхк-1 + (ск + cJr+l) хк - ск-ихк-и - СА [(^Jr - xk-lY + + (У к -
J/fc-i)2] h(xk - xk-l) + ск+A+l [(^Jr+l - xkY +
+ (Ук+1 - У'к)2]~'/г(хк+1 - хк) = 0, (2.2)
^r=-mkg - cfey;_1 + (ск + Ck+1) Ук - cfe+1y;+1 -
- сА Кхк - ^-02+ (у'к - y'^Y^iyl - 2/fc-t) +
+ <Wfc+i [(жт - Z*)4+ (i/'fc+1- г/к)2]"1'^^! - J/k) = 0 (A: = 1,.. N),
считая cWrfl = lN+1 = 0. Эта система допускает решение (нижнее положение
равновесия)
хк - 0> у'к - (h + ^-l) + • • • + (lh + кh) (к = 1, • • •, Ю,
(2.3)
где kj означает статическое удлинение /-й пружины
к} = (Щ + mj+1 + . . . + mN) g/Cj (/ = 1, . . N).
Найденное положение равновесия будет, изолированным. Действительно,
якобиан системы уравнений (2.2) при значениях переменных (2.3) D = Dk-D2,
где и Da - определители якобиевых матриц N-то порядка
^2^2 0 . . 0
^1 + ^1 ^2"Ь ^2 ^2 ^2
С2^2 С2^2 1 сз^з . . 0
^2 ^2 ^2 ^2 ^3 "Ь ^3 ^3 ^3
0 0 0 CN^N iN + kN
a D2 получается из Dx при lh = 0, кк = 1 (к = 1, . . ., N).
Воспользовавшись формулой для определителя якобиевой матрицы,
42
КОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ ЦЕПИ
[ГЛ. II
найдем
N сЧ
СиЛг.
что и требовалось установить.
Введем переменные ук, представляющие отклонения по вертикали к-й
материальной точки от нижнего положения равновесия
У к ~ У It (4 "Ь ^ч) • • • (4 "Ь ^>s) (& = li • • •" -^0*
(2.4)
В нижнем положении равновесия = . . . = хдг = г/х = . . . • • •= Улг =0.
Для определения положений равновесия, отличных от нижнего, запишем
систему уравнений (2.2) в виде
с* (^jt ^fe-i) X
Х{4 [fe - xk-i)2 + (4 + kk + г/к - J/fe-i)2]_','' - 1} +
+ ck+l (xk+l -xk) {4+1 [fe+l -xk)2 +
+ (4+1 + ^Jc+1 + Ук+l - Ул)2]-'1, - 1} = 0,
(2.5)
-ck Цк + ^k + Ук - Ук-l) X
X {Ik - ^fe-l)2 + (Ik + hk + Ук - J/fe-l)2]-11* - 1} +
+ cfc+l (4+1 + ^Jc+l + Ук+l •- ^{^Jr+lU^ic+l -xkf +
+ (4+1 + 4c+l + Ук+l - Ук)2]~1>2 - 1} = mkg-Выпишем уравнения, отвечающие
к, равному N,
Cn (xN - a:N-l){ 1 - 4r [(^N - 1)2 +
+ (In + ^n + J/n - J/n-i)2]-112} = 0, cn (In + + J/n - J/n-i) {1 - In
[(^n - ^n-i)2 +
+ (In + kpr + yN - yN-i)2lJ|2} = wiNg'
Фигурная скобка отлична от нуля, так как в противном случае второе
уравнение не может быть удовлетворено. Тогда из первого уравнения найдем
xN - x^-i, а второе уравнение примет вид
Cn (In + + yN - Vn-i) X
X {1 - In I In + ^N + J/n - 2/n |-1} = m-Ni-
Последнее уравнение всегда имеет решение г/лг = Улг-ъ а при условии кн lN
п решение уЦ = y^-i - 2In. Будем рассматривать наиболее распространенный
случай, когда статическое удлинение каждой из пружин меньше длины ее в
ненапряженном состоянии
кк<^ 4iL(^ - 1" • • •! N)- (2.6)
Поступая с уравнениями (2.5), отвечающими к = N - 1, N - 2, ...
. . ., 1, аналогичным образом, найдем 2N положений равновесия
§ 1] СВОБОДНЫЕ, ЦЕЛИКОМ УПРУГИЕ ЦЕПИ 43
свободной колебательной цепи:
хг = . . . = xjv = 0, (2.7)
Г 0 { У1 { УN~1
У1 \ - 2/х' Уг [ ух - 2/2,..1 yjv-i
2/л
Ири этом должно быть оговорено, что плоскости движения каждой из N
материальных точек различны и параллельны вертикальной плоскости.
1.3. Асимптотическая устойчивость в большом нижнего положения равновесия
