Прикладные методы нелинейных колебаний - Старжинский В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Ф0 | !> | ф | > 0- Поскольку при | а\ ^ 2 У2 в силу
(3.2) имеем | ? | ^ 2 У 2, где, напомним, 2у2 есть амплитуда порождающего
решения (2.6), то на весь промежуток процесса срыва (перехода
вертикальных колебаний в маятниковые качания) можно положить cos 2ф ж 1,
если ф0 достаточно мало. Тогда
70
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
[ГЛ. Ill
первое уравнение (3.3) даст нам для а0 = а (0) ]> 0
а
(" da 9 а
а о
и после интегрирования найдем
In
V 4 + а? _ 2
^4 + ^-2
9 Q. = 12^'
Отсюда получим приближенный закон изменения амплитуды
460exp ( Qo М''(r)') / 1 г-,/ j \
а =---------- /9 \ ba = -A[p4 + aS-2]). (3.4)
Вычислим время перехода вертикальных колебаний (? = 0) в маятниковые
(2.6). Полагая в (3.4) а = 2]/2, будем иметь для соответствующего
значения ft
ft = -|g-Inf -r=^L------). (3.5)
^ { V2 Vi + al-2 )
Заметим, что переходной процесс происходит на интервале времени, длина
которого имеет порядок О (р.-1), что соответствует алгоритму
асимптотического интегрирования в методе усреднения ([90], гл. III, § 4,
п. 4).
В силу малости ср0 имеем а0 ж ? (0) и последняя формула для малых а0
примет вид
<ЗЛ)
Формулы (1.4) позволят выразить ? (0) через начальные значения исходных
переменных, именно,
= P = ]/'Tla+(~J7-)2'
Ц0) = Ж(0)[у(0)* + м-2у(0)2Г*к
Наконец, последняя из формул (2.7) определит искомое время переходного
процесса от вертикальных колебаний к маятниковым
r=ir(;(1:f: + <зл>
Напомним, что р можно определить из формулы (1.3) р = -±~У2(Т0 + У0)с,
§ 2] О СВЯЗИ РАДИАЛЬНЫХ И ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ Ц
либо, считая поперечное возмущение х (0) малым, из формулы (1.8). Двойной
знак в формуле (3.7) связан с фазой маятниковых качаний в (2.6).
§ 2. О связи радиальных и вертикальных колебаний частиц в циклических
ускорителях
В настоящем параграфе определяются чисторадиальные колебания и
исследуется их устойчивость. Затем проводится преобразование уравнений
колебаний, и по методу малого параметра Пуанкаре находятся вертикально-
радиальные колебания. Существует единственное значение определяющего
физического параметра, при котором имеется единственная приведенная
амплитуда вертикально-радиальных колебаний, а чисторадиальные колебания
при этом значении параметра неустойчивы для сколь угодно малой их
амплитуды. Далее описывается переходный процесс и определяется время
перехода чисторадиальных колебаний в вертикально-радиальные, а затем
отмечается аналогия с пружинным маятником, в частности, в переходных
процессах.
2.1. Первый этап. Уравнения бетатронных колебаний частиц в циклических
ускорителях со слабой фокусировкой имеют вид *)
Здесь ? = (г - г0)/г0, ц = z/r0; г ж z - две из цилиндрических координат
частицы, точка сверху обозначает дифференцирование по времени; константы
со, п и к суть
где т же - масса и заряд частицы, с - скорость света, Нг = = Н (г) -
вертикальная компонента вектора напряженности магнитного поля, значения
частных производных вычислены при г = г0 - радиусе траектории,
соответствующем заданной величине энергии частиц.
Введем безразмерное время T = a)f^l - п t ж запишем систему (1.1) в виде
([270], (4.6)):
I + со2 (1 - п)1 = Ащ2, ц + С02Ш1 = - к1ц. (1.1)
(1.2)
(1.3)
х) В первом уравнении (4.6) в [270] перед правой частью должен стоять
знак минус.
72
ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДОВ МАЛОГО ПАРАМЕТРА
[ГЛ. III
где положительные параметры а и |3 суть
а = т~- v Р = ^7Г-------[• (!-4)
1 - п г со2 (1 - п) v '
Интеграл (1,1,2.2) для системы (1.3) есть интеграл энергии час-
тиц, соответствующий колебательной части движения
Ж = ?2 + (-§-)* + W + 5з!= R2
(1.5)
Прежде чем приступить к преобразованию системы (1.3), заметим, что она
допускает решение (чисторадиальные колебания частиц)
г\ = О, I = р cos (т - т0). (1.6)
Из интеграла (1.5) следует, что константа р2 равна квадрату амплитуды
чисторадиальных колебаний. Для суждения об устойчивости последних положим
в (1.3)
I = р cos (т - т0) + X, ц = 0 + у,
и получим уравнения в вариациях в виде
S+*= °' S+[а+^cos ^-у=°-
Отсюда следует, что неустойчивость чисторадиальных колебаний
(1.6) определяется неустойчивостью тривиального решения второго из
последних уравнений - уравнения Матье. Физически определяющим параметром
является п; см. (1.2). Области неустойчивости на плоскости ртг примыкают
к критическим точкам на оси п, определяемым равенствами (см. [146], §
VII, 1)
2/а"Н = / (/ = 1,2, ...),
откуда
п = ni = (1 = 1,2,.. .).
Широкая область неустойчивости (т. е. с отличным от нуля углом
между касательными) примыкает лишь к точке щ = 1/5, тангенс
угла наклона касательных определяется формулой (11,2,5.6)
г+ -
(In
к /л . - 2 к
Таким образом, в первом приближении единственная широкая область
неустойчивости (1.6) в плоскости ртг определяется
§ 2] О СВЯЗИ РАДИАЛЬНЫХ И ВЕРТИКАЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ 73
неравенствами
с критическим.значением п = пг = 1/5.
2.2. Второй этап. Перейдем теперь к преобразованию системы
(1.3). По формулам (11,1,2.6) найдем
Уравнение (1,1,2.9) запишется в виде (zx = ?,?'= dt,ldb)
